基于电磁力的集群航天器磁矩最优分配*

杨茗棋 胡 敏 郭光衍 徐家辉

航天工程大学，北京 101416

集群航天器[1]是指由多颗具有特定功能的模块卫星组成的航天器群体，可以利用卫星自组织能力取代人工操作，实现一颗整星的功能，更高效地完成航天任务。基于电磁力的航天器控制一般采用3个正交的线圈实现卫星编队的相对控制。针对集群航天器的电磁控制与电磁交会对接[2]、电磁编队[3]和电磁拖拽[4]等的研究可以互相借鉴。基于电磁力的集群航天器的磁矩最优分配问题，是研究如何将控制电流分配到每个航天器的各线圈上，以达到期望控制效果的问题[5]。实现磁矩最优分配，能够有效减少航天器燃料的消耗。目前关于集群航天器的控制研究比较少，关于磁矩分配问题的研究更加缺乏。

针对磁矩分配问题，Schweighart[6]提出“自由磁偶极子”概念。自由磁偶极子解法是将电磁编队中一个航天器的磁矩设置为随机非零的数值，再利用牛顿法和同伦延拓法等数值解法，通过磁偶极子间的相互作用力方程组求解其他磁偶极子。该方法思路简单清晰，但是自由磁偶极子的选取极大程度影响了磁矩分配的结果，而且牛顿法虽然计算量小，但是只能得出方程组的一个解；同伦延拓法可以系统地找出满足方程的所有解，但是计算量相对较大[7]。

徐增文等[8]求解了双星磁矩分配问题中控制磁矩的解析解，将两航天器线圈中的控制电流大小设置为相同，以保持线圈能量消耗的均衡性。黄显林等[9]针对双星电磁编队，用一组能够描述电磁力和力矩关系的参数代替磁矩矢量，使得到的磁矩计算结果实现系统总角动量最小。

上述方法的根本思想均采用自由磁偶极子法进行磁矩分配，该方法很难求解出磁矩分配的最优解，因此将磁矩分配问题转化为优化问题是一个更为有效的方法。Ahsun等[10]和连克非等[11]均针对多颗电磁编队卫星的情况，将控制分配问题转换为一个优化问题，优化了地磁场干扰力矩，但是介绍较简略。Abbott等[12]利用序列二次规划方法进行求解磁矩，使线圈功耗最小，但该方法没有考虑地磁场和航天器间的干扰力矩对航天器系统的影响。

提出一种基于电磁力的集群航天器磁矩最优分配方法，将该问题转化为一个有约束条件的优化问题：1)建立目标函数为总干扰力矩最小；2)计算地磁场干扰力矩和航天器之间的干扰力矩；3)分析航天器间力和磁矩的约束；4)采用模拟退火算法优化计算两航天器中各轴线圈中的电流，实现磁矩最优分配。

1 磁矩分配问题描述

基于电磁力的集群航天器磁矩分配问题，实质是从期望控制量到各航天器三轴线圈中电流的非线性映射过程。在控制律给出所需电磁力的基础上，通过合理分配各线圈中的电流，进而控制航天器各轴磁矩，最终实现磁矩的最优分配。

集群航天器控制及分配系统结构示意图[13]如图1所示：

图1 集群航天器控制系统结构示意图

每个集群航天器在3个正交轴上分别配备1个相同的电磁线圈，如图2所示。通过控制线圈中的电流，控制航天器的磁矩，进而控制两航天器之间的电磁力，最终实现对集群航天器系统相对运动的控制。磁矩的分配，本质上是一个电流优化分配问题，根据控制律所需的电磁力，通过选取目标函数，合理分配各航天器的控制电流，磁矩分配流程图如图3所示。

图2 集群航天器系统

图3 磁矩分配流程图

磁矩分配问题的优化模型可描述为：

minf(x)
s.t.gi(x)≤0,i∈{1,…,m}
hj(x)=0,j∈{m+1,…,m+l}

(1)

1.1 目标函数

优化目标为干扰力矩最小，可以将磁矩最优分配问题视为一个优化问题，目标函数为

(2)

不等式约束为电流大小最大值；等式约束为控制律计算得到的电磁力。

1.2 优化过程

选取模拟退火算法实现磁矩最优分配，两磁矩大小相等情况的具体流程如图4所示：

图4 模拟退火算法的流程图

不约束两磁矩大小相等的情况下模拟退火算法流程与图4基本相同，不同之处在于首先随机生成的是I1的x，y和z轴分量和I2的x，y轴分量，然后根据电磁力约束计算I2的z轴分量。

下面介绍目标函数中干扰力矩的计算方法以及约束条件。针对等式和不等式约束条件，本文应用解方程法[14]处理。

2 干扰力矩计算

地磁场引起的电磁干扰力与航天器间的电磁力比值为10-3量级，地磁场引起的电磁干扰力可以忽略[15]。为了实现集群航天器的姿态控制并抵消电磁干扰力矩的影响，每个航天器必须安装角动量存储设备，例如反作用飞轮或者控制力矩陀螺等。

干扰力矩包括地磁干扰力矩和集群航天器间的干扰力矩2部分。地磁干扰力矩是指地磁场分别对2个集群航天器的力矩。

2.1 地磁干扰力矩

航天器i受到地磁干扰力矩的表达式为：

(3)

采用国际地磁参考场IGRF-12[16](the 12th Generation of the International Geomagnetic Reference Field)中2015年的地磁场模型数据，并通过校正项得到2018年1月1日00:00:00(协调世界时)的磁场强度分布(如图5所示)。

图5 500km高度的地磁场强度分布图

2.2 航天器间干扰力矩

航天器间的干扰力矩是指为使两航天器的磁矩共轴，反作用飞轮中累积的力矩。飞轮中累积的力矩的表达式为：

(4)

式中，μ0为真空磁导率；rij为航天器i相对航天器j的位置矢量；rij为rij的模；μj为航天器j的磁矩。

3 约束条件分析

约束条件包括2个：1)根据控制算法得到的两航天器间力的约束；2)各航天器的磁矩大小固定。假设两航天器的磁矩方向共轴。

3.1 航天器间力的约束

通过设计自抗扰控制律[17]，对集群航天器系统进行控制。通过控制律，即相对加速度，可以得到两航天器之间的电磁力变化，即磁矩分配问题中航天器间力的约束。

(5)

如果2个磁矩方向共轴，则共轴方向上两航天器之间的电磁力大小可以简化为：

(6)

3.2 航天器磁矩的约束

根据电流模型，假设2个磁矩大小相同，则可以通过电磁力得到两航天器的磁矩大小。

航天器i的磁矩μi大小可以表示为：

(7)

式中，n为线圈匝数；I为线圈中的电流大小；RC为线圈半径。

假设2个磁矩大小相同，则可以得到两航天器的磁矩大小可表示为：

(8)

若不约束2个磁矩大小相同，则由式(6)可得航天器j的磁矩大小：

(9)

4 仿真分析

不考虑电磁线圈产生电磁力大小的能力，假设电磁线圈能够产生足够大的力。线圈半径为10 m，线圈匝数为1000匝，各轴电磁线圈中最大电流大小为50 A，每个带线圈的航天器质量为36 kg。模拟退火算法中各参数设置为：马可夫链长度为10000，衰减参数为0.95，Metropolis的步长为0.02，初始温度为100 ℃，迭代次数为100次。控制律设计过程及轨道参数等见文献[17]。

根据牛顿第三定律，两航天器间的电磁力大小相等，方向相反，因此电磁力可表示为：

(10)

控制律在参考坐标系下的变化与电磁力的变化趋势相同，质心坐标参考系中各轴电磁控制力如图6所示：

图6 电磁控制力

由文献[17]可知，控制器从第9391s起控，根据模拟退火算法计算该时刻的最小总干扰力矩的过程如图7所示：

图7 第9391s总干扰力矩收敛情况

不约束和假设两航天器磁矩大小相等2种情况下，实现磁矩最优分配的电流变化分别如图8和9所示。2种情况的总干扰力矩，如图10所示。

图8 航天器线圈中电流的变化(不约束两磁矩大小相等)

图9 航天器线圈中电流的变化(假设两磁矩大小相等)

图10 总干扰力矩对比图

图10中，T1为不约束航天器磁矩大小情况的总干扰力矩；T2为两航天器磁矩大小相等情况的总干扰力矩。由图10可以看出，假设两航天器的磁矩大小相等，目标函数的变化趋势较平滑；不控制两磁矩大小相等时，目标函数会出现过大的点，但是总体上总干扰力矩与磁矩相等的情况相比更小，即多数情况下目标函数更优。

两航天器磁矩大小相等，可以使两航天器线圈的耗能均衡，不会产生一个航天器的磁矩很大、另一个很小的情况，这种情况不仅不利于电流的改变，而且总干扰力矩可能会很大。因此，在进行磁矩分配问题的研究时，令两航天器的磁矩大小相等更有利于实现更优的分配。

5 结论

提出一种基于电磁力的集群航天器磁矩最优分配方法，使地磁场干扰力矩和航天器之间干扰力矩的总干扰力矩最小。采用模拟退火算法计算两航天器中各轴线圈中的电流，实现磁矩的最优分配。通过仿真分析不约束和假设两航天器磁矩大小相等2种情况的磁矩分配，得出在进行磁矩分配问题研究时，令两航天器的磁矩大小相等更有利于实现更优分配的结论。提出的磁矩最优分配方法能够通过电流的最优分配，实现最优电磁力分配，耗能均衡。采用模拟退火算法可以更加快速得到电流的最优分配。下一步工作是针对多个集群航天器的情况，解决磁矩最优分配问题。