本质回归 让一次“邂逅”不再陌生—探究2018年高考新课标卷理科第21题

广东省广州大学附属中学(510050) 韩智明 陈经纬

题目1(2018年高考新课标卷I理科第21题)已知函数

(1)讨论f(x)的单调性.

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:

分析我相信广大考生看到此题,应该有一种似曾相识的感觉,感觉它就是不久前的一次邂逅和相识,但回忆起来又是那么的模糊,特别是对第(2)问大多数考生一动起笔时总感觉缺少一种关联,总是出现思维链条的断裂;还有一部分考生虽然按照分析法的解题思想处理成功,但是很多同学还是不明白其中的原理.

点评笔者认为如上方法为本题的最佳解法.通过极值点找出两根x1,x2的关系x1x2=1,再通过把要证明的不等式通过减少变量化为一元变量不等式,构造函数然后证明不等式即可.考生只有经过这种数学思维和方法的训练,才能想到这种方法,本题充分体现了数学逻辑推理的核心素养.

无独有偶,在以往的高考试题中也出现类似的情况.

题目2(2011年全国高考湖南卷文科第21题)设函数

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2−a.若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.

分析此题虽然和题1题干有所不同,但究其本质应该是相同的,可见高考考查考生的数学思维的思想和本质不变,具有较为稳定的连续性.

点评题1和题2的解法相似,也是它们共同的最佳的解法,但针对不同形式但本质相似的试题,我们在教学中可以探究此类数学问题的其它的具有共性的解决方法,也就是……