基于数学核心素养的课堂重建——“三三三”学案教学法

□ 海南省农垦中学 肖世琥

史宁中教授在 “数学核心素养和小学数学教学”这个专题报告中指出：数学教学的关键是启发学生学会数学思考，帮助学生积累活动经验，使学生会用“数学的眼光观察世界”“数学的思维分析世界”和“数学的语言表达世界”，这是制定数学核心素养的依据。具体要素包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个维度。而“三三三”学案教学法，就是把“知识点”与“例题”，通过精心的设计，融入到三组系列问题中，再通过学生自主学习，合作学习，教师深入浅出的点拨，达到提升学生数学核心素养的良好效果。笔者反思整个教学实践历程，从以下三个维度来考虑和操作，是可以解决上述问题的具体做法：

一、“三三三”学案教学法的形成与解读

从1984年9月至1987年7月，笔者使用中国科学院心理研究所卢仲衡教授编写的《中学数学自学辅导教材》，按“启、读、练、知、结”五步进行教材与教法改革实验。1987年9月至2003年7月，将“启、读、练、知、结”五步教学法移植到统编教材，形成了具有个性化的“启、读、议、练、结”五步教学法。在2003年9月至今任教高中数学以来，自己一直致力于高中数学教学改革，尤其是近三年间在高一的数学教学实践中，基于落实数学核心素养的原则性要求，又将五步教学法发展为“三三三”学案教学法。

第一个“三”是：课堂教学有三个环节。第一个环节是“阅读思考”，第二个环节是“探究新课”，第三个环节是“巩固提升”。第二个“三”是：每个环节中，设计有梯度的三个问题，使之形成问题链。第三个“三”是：针对三类不同层次的学生提出不同的学习要求，即对于“阅读思考”中的三个问题，要求所有学生在课前要认真阅读教材，一般用15分钟左右完成；对于“探究新课”中的三个问题，要求中等以上的学生全体达标,而学习有困难的学生只需部分达标即可。对于“巩固提升”中的三个问题，要求成绩优秀学生达到目标,中等水平学生部分达标，其他学生不作要求。

关于学案中问题的设计,“阅读思考”是以围绕新知识点生长为主脉，一般有一个诊断性问题，它的作用是承前启后，既复习了旧知识，又激发学生阅读教材的动机和主动性。另外两个问题最好是学生通过阅读教材中部分段落后，从文本中就能找到，或者是教材练习中的相关问题，进而培养学生阅读数学课本的能力。在教学进程中，一般通过提问的方式落实“阅读思考”中的三个问题，教师从学生的回答当中积累素材，作适当的点拨和讲解。在设计“探究新课”中的三个问题时，尽量地将教材中的重、难点，设计成有层次的三个问题，通过师生共同探究，使学生掌握重、难点知识的形成和发展过程，明确注意点及解题方法。在设计“巩固提升”的三个问题时，既有检测本节课学生所学知识的相关性问题，也有综合前面所学知识的问题，或者适当有超越课本内容的创新性问题。有时对最后这个问题可让学生课后完成。在实施过程中，通过合作讨论，师生互动，就是“三三三”学案教学法的目的所在。

二、“三三三”学案教学法的实施案例分解

1.方程的根与函数的零点的学案。

（1）阅读思考。掌握函数零点的概念及没有区间限制的函数零点的存在问题。

【问题1】阅读教材P86至P88探究上面的内容，回答：

①方程x2-2x-3=0的根为 __________；

②函数y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为_____；

③函数y=x2-2x-3的零点为__________。

归纳：“方程 f（x）=0 的根”“函数 y=f（x）图像与 x轴的交点”与“函数 y=f（x）的零点”可互相_______。

【问题 2】若函数 f（x）=x+a 的零点为 2，则函数 g（x）=x2-ax的零点为_______________。

【问题3】若函数y=x2-x+a存在零点，则实数a的取值范围为____________________ ．

（2）探究新课。探究有区间限制的函数零点的存在问题。

【问题 4】观察函数 f（x）=x2-2x-3 的图像，从中可以发现函数在区间［-2，1］上有零点吗？其中满足f（-2）·f（1）_______________；

其中也满足 f（-2）·f（1）__________ ；

【问题 6】函数 f（x）=3x-x2在区间（-1，0）上有零点吗？你能说明理由吗？

归纳函数零点存在定理：若函数y=f（x）在区间［a，b］ 上的图像是_______的一条曲线，且有_____，则函数 y=f（x）在区间（a，b）上有零点。（3）巩固提升。通过下列问题归纳函数零点的三种解题思路。

A 3 B 2 C 1 D 0

【问题 8】在下列区间中，函数 f（x）=1nx+2x-6 的零点所在区间是（）。

A （0,1） B （1,2） C （2，3） D （3,4）

【问题 9】函数 f（x）=ex-x3的零点个数为（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3

2.“阅读思考”环节的教学实录。

逐一提问三位学生回答“阅读思考”中的三个问题。（注：学生1、2、3均为学困生）

学生 1：（1）3，-1；（2）（3，0），（-1，0）；（3）3，-1.

教师：你从问题1中的三个小问题中发现了什么？

学生 1： “方程 f（x）=0 的根”“函数 y=f（x）图像与x轴的交点”与“函数 y=f（x）的零点”可互相转化。（教师同时板书）

教师：函数的零点就是对应方程的根。

学生 2：0，-2。

教师：怎么求的？

学生3：根据题意得，x=2是方程x+a=0的根，求得a=-2，代入得方程x2+2x=0，解方程求得结果。

教师：这个问题反复利用函数的零点就是对应方程的根来求解。

教师：如何思考的？

学生3：根据题意得，函数y=x2-x+a图像与a轴有公共点，利用根的判别式△=1-4a≥0可求得结果。

教师：这位同学是将“存在零点”转化成“图像与轴有公共点”，实际上，也可以转化成“对应的方程有实数根”来思考。这道具体问题的解答，可帮助学生理解教材 P87中，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根与二次函数 y=ax2+bx+c=0（a≠0）与 x轴的交点，及函数零点问题的相互转化。

3.“探究新课”环节的教学实录。

逐一提问三位学生回答“教学新课”中的三个问题。（注：学生4、5、6均为中等生）

学生 4：有零点， f（-2）·f（1）=-20＜0。

教师：你是如何看出有零点的？请同学们看教材P87探究中的内容。

学生 4： 函数 f （x）=x2-2x-3图像在区间［-2，1］上与x轴有交点。

教师：函数 f（x）=x2-2x-3 在区间［-2，1］上，满足端点的函数值互异，即在x轴上方有图像，在x轴下方也有图像，并且穿越了x轴，自然有交点。

学生 5：没有零点， f（-2）·f（1）=-2＜0。

教师：这里也满足端点的函数值互异，怎么就没有零点呢？

教师：若类似于问题 4、问题 5，先画函数 f（x）=3x-x2在区间（-1，0）上的图像就难办了，我们就只能用端点的函数值互异，且满足在区间（-1，0）上函数有意义来判断了，请你再填写函数零点存在定理。

学生 6：若函数 y=f（x）在区间［a，b］上图像是连续不断的一条曲线，且有 f（a）·f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间上（a，b）有零点。（教师同时板书）

教师：也就是说函数y=f（x）在闭区间上有定义，且满足端点的函数值互异，则在开区间上就有零点；但没有回答有多少个零点，是不是只有一个呢？如果端点的函数值同号，是不是就没有零点呢？请同学们课后去讨论一下这两个问题。

4.“巩固提升”环节的教学实录。

逐一提问三位学生回答“巩固提升”中的三个问题．（注：学生 7、8、9 均为优秀生）

学生 7：选 B。

教师：你是如何求解的？

学生7：当x≤0时，解方程x2+2x-3=0得x=-3或 x=1（舍去）；当 x＞0 时，解方程-2+1n x=0 得，x=e2。

教师：你能归纳一下本题的解题思路吗？

学生7：通过解方程求零点。（教师同时板书）

教师：函数零点问题，首先是考虑通过解方程求零点；同学们课后可以画出函数图像，观察其图像与x轴交点的个数求解。

学生 8：选 C。

教师：你是如何求解的？

学生8：根据函数零点存在定理，计算端点的函数值，f（1）=-4＜0，f（2）=1n2-2＜0,f（3）=1n3＞0。

教师：你为什么不通过解方程求解呢？

学生8：方程1n x+2x-6=0解不了。

教师：我们把1n x+2x-6=0叫做超越方程（即超出我们能力范围内的方程）；有同学会问，在其他区间内还可能有零点呀！请同学们看教材P88例1，教材中是通过列表分析函数 f（x）=1n x+2x-6 在（0，+∞）上是单增的；实际上，y=1n x与 y=2x-6在（0，+∞）上均单增，由“和函数”的单调性可知 f（x）=1n x+2x-6 在（0，+∞）上也单增。本题的解题思路是：利用端点函数值互异，估计零点的范围（常针对单调函数而言）。（教师同时板书）

学生9：好像是选B。

教师：你是如何思考的？能通过解方程求零点吗？能利用端点函数值互异，估计零点的范围吗？

学生9：超越方程不能解，不是单调函数，不好估计零点的范围。

教师：将方程ex-x3=0变形为ex=x3，方程实根的个数相当于函数y=ex与y=x3图像交点的个数。请同学们动手在同一直角坐标系中画这两个函数的图像。

学生画图，教师巡视。发现有些同学两个图像没有交点，有些同学只有一个交点，只有少数同学有两个交点，展示有两个交点的同学的解法。

教师：注意当 x=3 时，ex＜x3；当 x=5 时，ex＞x3；且在后面函数y=ex是“爆炸式增长”，所以两个图像交点个数为2，正确选C。本题的解题思路是：分成两个函数，利用两个函数图像交点个数得函数零点个数。