关于涉及三角函数及反三角函数的等价无穷小的部分结论

徐泽家

【摘要】等价无穷小在求极限的运算中有着非常重要的作用，尤其是在计算复杂的极限问题时，它可以使问题简便化.本文系统地归纳并证明了一些常见的涉及三角函数及反三角函数的等价无穷小，正确地使用它们可以使一些复杂的极限运算问题变得简单.

【关键词】等价无穷小；三角函数；反三角函数；极限

在进行一些复杂的，特别是含有三角函数及反三角函数的极限运算时，如果可以使用等价无穷小替换表达式中的部分元素，则会使计算简便许多.本文主要讨论三角函数、反三角函数和含有x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx的多项式的等价无穷小.

一、等价无穷小的部分性质

在探讨三角函数及反三角函数的等价无穷小之前，我们先来探讨一下等价无穷小的部分性质，以便后文使用.

定理1[1]若f（x）～g（x）且g（x）～h（x）（x→x0），则f（x）～h（x）（x→x0）.

定理2若f（x）～F（x）且g（x）～G（x）（x→x0），则当x→x0时，有：

f（x）+g（x）～F（x）+G（x）（limx→x0f（x）g（x）存在且不等于-1）；

f（x）-g（x）～F（x）-G（x）（limx→x0f（x）g（x）存在且不等于1）.

证明

因为f（x）～F（x）（x→x0），

limx→x0f（x）g（x）=limx→x0G（x）F（x）≠-1，

所以-1+limx→x0f（x）F（x）1+limx→x0G（x）F（x）=limx→x0-1+f（x）F（x）1+G（x）F（x）

=limx→x0f（x）-F（x）F（x）+G（x）=0，

因为g（x）～G（x）（x→x0），limx→x0f（x）g（x）=limx→x0F（x）G（x）≠-1，

所以-1+limx→x0g（x）G（x）1+limx→x0F（x）G（x）=limx→x0-1+g（x）G（x）1+F（x）G（x）

=limx→x0g（x）-G（x）F（x）+G（x）=0，

所以limx→x0f（x）-F（x）F（x）+G（x）+limx→x0g（x）-G（x）F（x）+G（x）

=limx→x0f（x）-F（x）+g（x）-G（x）F（x）+G（x）

=limx→x0f（x）+g（x）F（x）+G（x）-1=0，

所以limx→x0f（x）+g（x）F（x）+G（x）=1.

同理可證：

当limx→x0f（x）g（x）≠1时，

-1+limx→x0f（x）F（x）1-limx→x0G（x）F（x）=limx→x0-1+f（x）F（x）1-G（x）F（x）=limx→x0f（x）-F（x）F（x）-G（x）=0，

-1+limx→x0g（x）G（x）-1+limx→x0F（x）G（x）=limx→x0-1+g（x）G（x）-1+F（x）G（x）=limx→x0g（x）-G（x）F（x）-G（x）=0，

所以limx→x0f（x）-F（x）F（x）-G（x）-limx→x0g（x）-G（x）F（x）-G（x）

=limx→x0f（x）-F（x）-g（x）+G（x）F（x）-G（x）

=limx→x0f（x）-g（x）F（x）-G（x）-1=0，

所以limx→x0f（x）-g（x）F（x）-G（x）=1.

综上所述，定理2得证.

定理3若f（x）～F（x）且g（x）～G（x）（x→x0），则

f（x）g（x）～F（x）G（x）（x→x0）.

证明因为limx→x0f（x）g（x）F（x）G（x）=limx→x0f（x）F（x）limx→x0g（x）G（x）=1，

所以定理3得证.

二、函数sinx，tanx，arcsinx，arctanx的等价无穷小

公式1[2]当x→0时，sinx～x.

证明limx→0sinxx=1，所以sinx～x.

公式2当x→0时，tanx～x.

证明limx→0tanxx=limx→0sinxxcosx=limx→0sinxxlimx→0cosx=1，所以tanx～x.

公式3当x→0时，arcsinx～x.

证明由洛必达法则，

limx→0arcsinxx=limx→011-x2=1，所以arcsinx～x.

公式4当x→0时，arctanx～x.

证明由洛必达法则，

limx→0arctanxx=limx→011+x2=1，所以arctanx～x.

推论1由定理1并结合上述公式可以得出：

当x→0时，sinx～tanx～arcsinx～arctanx～x.

三、含有x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx的多项式的等价无穷小

定义集合A={x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx}，则集合A中任意两个元素配对共有10种组合形式.下面，我们对这10种组合形式一一进行探讨.

（一）集合A中任意两个元素做减法运算所构成的二项式的等价无穷小

公式5当x→0时，x-sinx～16x3.

证明将x-sinx按带皮亚诺余项的麦克劳林公式展开，得

x-sinx=x33！-x55！+x77！-x99！+…+sinπ+nπ2xnn！+ο（xn），

所以 limx→0x-sinx16x3

=limx→0x33！-x55！+x77！-x99！+…+sinπ+nπ2xnn！+ο（xn）16x3=1，

所以x-sinx～16x3.

公式6当x→0时，arcsinx-x～16x3.

证明由洛必达法则，得

limx→0arcsinx-x16x3=limx→011-x2-112x2=limx→0（1-x2）-32=1，

所以arcsinx-x～16x3.

同理，运用洛必达法则，还可证明以下两个公式：

公式7当x→0时，x-tanx～-13x3.

公式8当x→0时，arctanx-x～-13x3.

联立公式5、公式7，并结合定理2，可以得出：

公式9当x→0时，tanx-sinx～12x3.

联立公式6、公式8，并结合定理2，可以得出：

公式10当x→0时，arcsinx-arctanx～12x3.

联立公式5、公式8，并结合定理2，可以得出：

公式11当x→0时，arctanx-sinx～-16x3.

联立公式6、公式7，并结合定理2，可以得出：

公式12当x→0时，arcsinx-tanx～-16x3.

联立公式5、公式6，并结合定理2，可以得出：

公式13当x→0时，arcsinx-sinx～13x3.

联立公式7、公式8，并结合定理2，可以得出：

公式14当x→0时，arctanx-tanx～-23x3.

观察公式5—14，我们可以猜想出以下结论：

定理4设：

（1）在点x0的某去心邻域内，函数f（x）和g（x）均存在反函数及一阶导函数，且f′（x）-g′（x）≠0；

（2）limx→x0f′（x）g′（x）=1；

（3）当x→x0时，f（x）-g（x）～h（x）；

则：当x→x0时，g-1（x）-f-1（x）～h（x）.

证明limx→x0g-1（x）-f-1（x）h（x）

=limx→x0g-1（x）-f-1（x）f（x）-g（x）=limx→x01g′（x）-1f′（x）f′（x）-g′（x）

=limx→x01f′（x）g′（x）=1.

定理4得證.

定理4的运用较为广泛，例如，若已知ex-1-arctanx～12x2（x→0），通过定理4，我们可以轻松地得到tanx-ln（x+1）～12x2（x→0）.

（二）集合A中的元素做加法运算所构成的多项式的等价无穷小

结合定理2和推论1可以得出：

推论2设集合A={x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx}，则集合A中任意两个元素相加组合成的二项式都是2x的等价无穷小（x→0）.

结合定理2、定理3和推论1可以得出：

推论3当x→0时，

a1xm1+a2xm2+…+arxmr+b1sinn1x+b2sinn2x+…+bssinnsx+c1tank1x+c2tank2x+…+cttanktx+d1arcsinp1x+d2arcsinp2x+…+duarcsinpux+h1arctanq1x+h2arctanq2x+…+hvarctanqvx

～

a1xm1+a2xm2+…+arxmr+b1xn1+b2xn2+…+bsxns+c1xk1+c2xk2+…+ctxkt+d1xp1+d2xp2+…+duxpu+h1xq1+h2xq2+…+hvxqv，

其中，数列{ar}，{bs}，{ct}，{du}，{hv}，{mr}，{ns}，{kt}，{pu}，{qv}的各项均为自然数.

（三）集合A中的任意两个元素的幂做减法运算所构成的二项式的等价无穷小

推论4设集合A={x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx}，在集合A中任取两个元素，分别记为函数f（x）和函数g（x），则当x→0时，fm（x）-gm（x）～mxm-1[f（x）-g（x）]（m为正整数）.

证明

fm（x）-gm（x）=[f（x）-g（x）]∑m-1k=0fk（x）gm-k-1（x），

由定理3得fk（x）gm-k-1（x）～xm-1（x→0），

再由定理2得∑m-1k=0fk（x）gm-k-1（x）～mxm-1（x→0），

所以fm（x）-gm（x）～mxm-1[f（x）-g（x）]（x→0），推论4得证.

（四）集合A中的元素做加减混合运算所构成的高次多项式的等价无穷小

对于多项式

a1xm1+a2xm2+…+arxmr+b1sinn1x+b2sinn2x+…+bssinnsx+c1tank1x+c2tank2x+…+cttanktx+d1arcsinp1x+d2arcsinp2x+…+duarcsinpux+h1arctanq1x+h2arctanq2x+…+hvarctanqvx（其中，数列{ar}，{bs}，{ct}，{du}，{hv}的各项均为整数，数列{mr}，{ns}，{kt}，{pu}，{qv}的各项均为自然数），

要想找到它的关于x的幂函数所构成的高次多项式的等价无穷小，则必须综合运用定理2、推论3和推论4.

例如，要想找到多项式tan2x-2arctan2x-2sin4x+3arcsin5x在x→0时的等价无穷小，可先根据推论4得出tan2x-arctan2x～43x4，从而tan2x-2arctan2x-2sin4x+3arcsin5x～43x4-arctan2x-2sin4x+3arcsin5x，再由推论4得出43x4-43sin4x～89x6，最后根据定理2和推论3得出tan2x-2arctan2x-2sin4x+3arcsin5x～-x2-23x4+3x5+89x6（x→0）.

四、上述结论的应用

对于上述结论，如果能够正确使用，则可以使复杂问题简便化，从而提高解决复杂问题的正确性和效率.

例1[3]求limx→0sin（xn）（sinx）m（n，m为正整数）.

解因为当x→0时，sin（xn）～xn，（sinx）m～xm，

所以limx→0sin（xn）（sinx）m=limx→0xnxm=xn-m.

例2求limx→064[arctan（arcsinx-tanx）+tanx-arcsinx]（31+x2-1）ln7（arcsinx+arctanx+1）.

解因为当x→0时，arcsinx-tanx～-16x3，

arctanx-x～-13x3，

31+x2-1～13x2.

由推论2得arcsinx+tanx～2x，

所以limx→064[arctan（arcsinx-tanx）+tanx-arcsinx]（31+x2-1）ln7（arcsinx+arctanx+1）

=limx→0-64（arcsinx-tanx）3x2（arcsinx+arctanx）7

=limx→0-64-16x33x2（2x）7

=1432.

例3判断级数∑∞n=1tan1n+arctan21n+5arctan31n-arctan1n的敛散性.

解由公式14得：当x→0时，tanx-arctanx～23x3.

由推论1、推论3得：

当x→0时，arctan2x+5arctan3x～x2+5x3.

根据定理2得：

当x→0时，

tanx+arctan2x+5arctan3x-arctanx～x2+173x3.

所以

limn→∞tan1n+arctan21n+5arctan31n-arctan1n1n2+173n3=1.

因为级数∑∞n=11n2+173n3收斂，

故级数∑∞n=1tan1n+arctan21n+5arctan31n-arctan1n收敛.

例4求

limx→06（tan100x-arcsin100x-arcsin200x）（sinx-arctanx）100x2（tanx+2sinx+3arcsinx）400.

解因为tan100x-arcsin100x～1006x102，arcsin200x～x200，

（sinx-arctanx）100～x3006100，

x2（tanx+2sinx+3arcsinx）400～6400x402，

所以limx→06（tan100x-arcsin100x）（sinx-arctanx）100x2（tanx+2sinx+3arcsinx）400=1006500，

limx→0（sinx-arctanx）100arcsin200xx2（tanx+2sinx+3arcsinx）400=0，

所以原极限=1006500.

【参考文献】

[1]毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析（第四版）学习指导书（上册）[M].北京：高等教育出版社，2011：91.

[2]林锰，于涛.微积分教程（上）[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2011：43.

[3]唐晓文.高等数学：理工类（上册）[M].上海：同济大学出版社，2012：43.