用简单枚举法研究四元群的结构

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【摘要】群论的目的是为了给出群的结构，即为了弄清到底有多少种不同的群（抽象群）.当群中的元素个数很少时，我们可以把群中的元素一一列举出来，再根据群的元素的性质去研究群的结构.此方法显然不是群论研究的一般可行的方法，但却是一种最为基础的简易方法，它的意义在于：它能使我们积累起关于群的结构的一些朴素而直观的认识.本文将用这种简单枚举法给出四元群的结构.

【关键词】简单枚举法；群论；群的结构

首先我们用枚举法得到一元群、二元群、三元群的结构，再把这种方法应用在四元群的结构研究中.

对于单点集G={e}，有G×G={（e，e）}.G×G到G的代数运算仅有一个，记其为

：G×G→G，

（e，e）→e，

显然G对其代数运算 构成群，我们称此群为单点群.

定理1设G是仅含三个元素的集G={e，a，b}， 是G的一个代数运算，则G是（对于代数运算 ）群G的代数运算 为：

eab

eeab

aaa a=a2=ba b=e

bbb a=eb b=b2=a

证明充分性.根据上表取x，y，z∈G，验证 适合结合律，即x （y z）=（x y） z.当x，y，z中至少有一个是e时，x （y z）=（x y） z显然成立.当x，y，z不全为e时，由于G={e，a，b}，所以x，y，z在a，b中取，一共有以下几种情形.（1）x，y，z三个元素全为a，此时有x，y，z按序排列为a，a，a.（2）x，y，z三个元素不全为a.① 两个是a，一个是b.（ⅰ）x，y，z按序排列为a，a，b.（ⅱ）x，y，z按序排列为a，b，a.（ⅲ）x，y，z按序排列为b，a，a.② 一个是a，两个是b.（ⅰ）x，y，z按序排列为b，b，a.（ⅱ）x，y，z按序排列为b，a，b.（ⅲ）x，y，z按序排列为a，b，b.③ x，y，z三个元素全为b，此时有x，y，z按序排列为b，b，b.这八种情形中，第一种和最后一种显然x （y z）=（x y） z也成立.只要验证中间六种就可以了.经验证，中间六种情形x （y z）=（x y） z也成立.故 适合结合律.取x∈G，对于G的元e，显然有e x=x e=x，所以G存在单位元e.因e e=e，a b=b a=e，所以G={e，a，b}的任何元都存在逆元.所以，G是（对于代数运算 ）群.

必要性.因G是（对于代数运算 ）群，所以G有单位元，设其单位元为e，且G的元a，b都有逆元.对于a的逆元a-1有a-1≠e.对a-1分类.当a-1=a时，此时易得a a=a2=e.也容易看到a b≠e，否则a b=e=a a，由消去律知a=b，這与a，b互异矛盾.又知a b≠a，b，所以a bG={e，a，b}.这与 是G的一个代数运算（或者说G对代数运算 是封闭的）相矛盾.所以，a-1=a不成立.这样就有：a-1=b，所以a b=b a=e.考虑a a=a2，因a a=a2≠a，且已证a-1=a不成立，故易见a a=a2≠e.所以，a a=a2=b.同理可证b b=b2=a.又e是单位元，所以e e=e，e a=a e=a，e b=b e=b.所以，G的代数运算 即为上述表格所示.

定理2设G是仅含四个元素的集G={e，a，b，c}， 是G的一个代数运算，则G是关于代数运算 的群的充分且必要条件是G的代数运算 为①或②或③或④.其中，①②③④分别为如下四个表格.

证明充分性.以上表格①或②或③或④给出的G×G到G的映射 是G的一个代数运算（或者说G对代数运算 是封闭的）.根据上表，取x，y，z∈G，可以验证结合律x （y z）=（x y） z成立.且对于这个四个表格有，取x∈G，对于G的元e，显然有e x=x e=x，所以，G存在单位元e.对于这四个表格，我们不妨只以①为例，有e e=e，a b=e，c c=e，所以G={e，a，b，c}的任何元都有逆元.所以，G是关于代数运算 的群.

必要性.因G是关于对代数运算 的群，所以G有单位元，设其单位元为e，且G的元a，b，c都有逆元.对于a的逆元a-1，由前面结论知a-1≠e，所以a-1=a或b或c.对a-1分类.（1）a-1=b时，此时a b=b a=e，b-1=a.由前面结论知c-1只能为c，所以c c=c2=e.由前面结论知a c不为a，不为c，而a c也不能为e，因a b=e，故a c=c a=b.按照同样的推理方式我们可得a a=a2=c，b c=c b=a，b b=b2=c.又e是单位元，故

e e=e，e a=a e=a，e b=b e=b，e c=c e=c.所以，G的代数运算 为表①所述.（2）a-1=c时，此时情形与（1）类似，同理可以得到G的代数运算 为表②所述.（3）a-1=a时，此时又分为两个情形：（ⅰ）b-1=c；（ⅱ）b-1-b.对于（3）的（ⅰ），此种情形类似于（1）（2），同理我们可得G的代数运算 为表③所述.考虑（3）的（ⅱ），此时a-1=a，b-1=b.采用与上面相同的推理方式我们可得c-1=c，a2=b2=c2=e，a b=b a=c，a c=c a=b，b c=c b=a.显然我们可得G的代数运算 为表④所述.

从中我们可以看到：以上四个表格所表示的四元群中，前三个群是同构的.这样我们就用简单枚举法回答了四元群的结构，即四元群本质上只有两个：①和④所描述的群.证：略.

这样我们看到：单点群、二元群、三元群本质上都只有一个.简单枚举法仅仅适合群中元素个数较少（个数≤4）时的群的讨论方法，但是它对我们积累起群的结构的一些初步的直观的认识，是非常有益的.

【参考文献】

[1]王萼芳.有限群基础[M].北京：清华大学出版社，2007.

[2]史福贵.近世代数[M].成都：电子科技大学出版社，1996.

[3]聂灵沼.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2009.