数形结合在中学数学教学中的作用

杨俊山

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，所以研究数学的重要思想之一就是数形结合思想.我国著名数学家华罗庚教授说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休”，这正是对数形结合思想的完美概括.数形结合思想是中学数学的灵魂，缺少了它，数学将失去其神采，因此，我们在教学中要做好数形结合思想的教学，让学生领略数形结合在数学中的奇妙作用.

第一，通过数形结合，可以使形象复杂的数量关系变得直观，易理解，易接受；将直观的图形数量化，转化成数学运算，可以降低难度，使理解更加深刻.数轴第一次实现了数形的完美结合，从而降低了相反数、绝对值的学习难度，数的大小的比较，也有了完美的几何工具.平面直角坐标系、复平面又更进一步完善了数形结合思想.例如，用数轴表示不等式和不等式组的解集，从而把复杂的数量关系用几何图形表示出来，易理解、易接受.

第二，数形结合思想的教学，不仅可以提高学生的数形转换能力，还可以提高学生的迁移思维能力，培养学生的创新能力，从而开发学生的智力.

例1如图1所示，正方形ABCD的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（花瓣形）的面积.

此题是初中平面几何的面积计算问题，求解方法较多，若采用数形结合，可使解法更新颖、简捷，同时还可以激发学生学习数学的兴趣.由图形的对称性知，每片叶形面积相等，每块两个叶形之间的面积也相等，由此可设每片叶形面积为x，每块两个叶形之间的面积为y，依图形则有4x+4y=a2，2x+y=12πa22， 解此方程组便可求出花瓣形部分的面积，而且还求出了每一小部分的面积，从而拓展学生的思维，开阔学生的视野.

再如，如图2所示，以边长为a的正方形的各顶点为圆心，a为半径在正方形内画圆心角为90°的扇形，求所围成的图形（花瓣形）的面积.此题若采用几何方法，很难组合图形求出面积，如果采用数形结合，利用方程组则能顺利求得花瓣形部分的面积.

第三，通过数形结合思想的教学，学生对概念、定理等的理解会更深更透，并能灵活运用，从而锻炼学生的思维，使联想更丰富.例如，直线和圆的位置关系与数的大小比较联系起来，用代数方法来研究直线与圆的位置关系，使学生对概念的理解更深入透彻，易于接受.再如，余弦定理是体现数形结合思想的定理之一，他不仅可以使几何问题代数化，也可使代数问题几何化.

例2已知：⊙O1和⊙O2相交于AB两点，过A作⊙O2的切线交⊙O1于C，直线CB交⊙O2于D，直线DA交⊙O1于E，连接CE.

求证：（1）CA=CE；（2）DA·DE=CD2-CE2.

本题第（2）小题，如果用余弦定理再结合一元二次方程，则有如下奇妙证法：在△CED和△CAD中，由余弦定理得CE2=CD2+DE2-2CD·DEcosD，CA2=CD2+DA2-2CD·DAcosD.由于CA=CE，将上两式改写为：DE2-2CD·DEcosD+CD2-CE2=0，DA2-2CD·DAcosD+CD2-CE2=0.

由此可知，DE，DA是一元二次方程x2-2x·CDcosD+CD2-CE2=0的两个根，由韦达定理得DA·DE=CD2-CE2.

此证法省去了几何中繁难严谨的逻辑推理及数式运算，而比较自然流畅，易于理解接受，从而激发学生的求知欲，培养学生乐观奋进的求学精神.

例3求sin220°+sin240°+sin20°sin40°的值.

解构造△ABC，使∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，设这个三角形的外接圆半径为R，则a=2Rsin20°，b=2Rsin40°，c=2Rsin120°，由余弦定理有（2Rsin20°）2+（2Rsin40°）2-2（2Rsin20°）（2Rsin40°）cos120°=（2Rsin120°）2，化简得sin220°+sin240°+sin20°sin40°=34.

此解法脱离了烦冗的代数运算，利用直观的三角形，而联想到用正弦定理、余弦定理，从而迅速求出结果.这既可以锻炼学生的联想能力，又可以培养学生灵活运用知识的能力，從而活跃了学生的思维，培养学生的创新能力.

第四，通过数形结合的教学，能使学生领略数学知识的神奇风采，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生自觉主动地学习，培养提高学生的能力、素质，推动素质教育的发展.

例4比较2 020-2 019和2 019-2 018的大小.

此题通常采用分子有理化的方法进行比较.但若构造如图3所示的三角形，会使解法更奇妙、新颖，使数形结合的思想发挥其应有的作用.

解构造△ABC，使∠C=90°，AB=2 020，BC=2 019，在BC上取一点D，使CD=2 018，连接AD.由勾股定理可得AC=1，AD=2 019，且BD=BC-CD=2 019-2 018，

在△ABD中，有AB-AD

用此法解完后，学生就会惊呼“数学真奇妙！”，从而活跃课堂气氛，让学生深深地爱上数学，消除数学的枯燥乏味性，展示数学游戏的乐园，激发学生学习数学的兴趣.

第五，数形结合思想和方法的教学，能培养提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神和善于发现的思想意识.较为抽象的数量关系，通过几何图形的性质反映出来，使抽象的概念关系得以直观化，有利于分析、发现和理解.例如，初等函数的性质紧密地与它们的图像结合在一起，进而获得方程、方程组、不等式和不等式组的几何解法.又如，应用方程和方程组解应用题，利用直观的示意图帮助分析理解，可以顺利地列出方程和方程组.

例5甲、乙两个物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.

（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？

（2）如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么，开始运动后几分钟第二次相遇？

此题是简单的数列应用问题，直接想是很难列出方程的，如果用图线示意图，问题就迎刃而解了.

第六，数形结合有利于拓展学生的思维，诱发学生的灵感，使学生的思维更灵活、更开阔.在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定.同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口.例如，在不等式证明的复习课中，笔者记得这样一个例题：已知：1ba-1.问题的叙述如此简洁，要证明这个不等式成立，似乎无从下手.但教师让学生观察不等式的结构形式——指数式，指数式怎么办？这时有学生说：化成对数式.这时教师及时捕捉了学生的这一想法：

由求证的结论知ab-1>ba-1lgab-1>lgba-1（b-1）lga>（a-1）lgblgaa-1>lgbb-1，而且也能逆推回去.lgaa-1>lgbb-1这个不等式妙啊！如果再作变化的话，你就豁然开朗了.上式變形成：lga-lg1a-1>lgb-lg1b-1，表达式lga-lg1a-1你想起了什么？直线的斜率公式吗？于是设f（x）=lgx，由1

图4

如图4所示，易知kAC>kBC，这不就证明了ab-1>ba-1吗？在分析中寻找解题的灵感，在转化中获取解题的信息，应用数形结合，于是活灵活现的解法也就脱颖而出.

第七，数形结合可以很好地培养学生的观察联想的思维能力.虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础，是我们思考问题的开端.所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题，培养学生的创新意识，增强学生的创新能力.

例6已知a，b，c，d都是实数，求证a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.

此题从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式.根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现，是创新的基础.

证明在平面直角坐标系中，不妨设A（a，b），B（c，d），则有|AB|=（a-c）2+（b-d）2，|OA|=a2+b2，|OB|=c2+d2，在△OAB中，由三角形三边之间的关系知|OA|+|OB|≥|AB|，当且仅当O在AB上时，等号成立，因此，原式成立.

很多学生都有思维定式，看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很烦琐.学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固，因此，平时的教学中应多注意数学公式、定理的学习运用.

在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.数形结合思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的解题方案.数形结合思想的教学，不仅可以培养提高学生分析问题、解决问题的能力，还可以开发学生的智力，培养学生的创新精神，而且，中学数学的每一部分知识都贯穿数形结合的思想，因此，我们在数学教学过程中，要经常进行数形结合的教学，使贯穿于数学学习始终的数形结合的思想真正在课堂教学中发挥其应有的作用，以优异的成绩完成我们的中学数学教学任务.