反例教学在数学学习中的作用评析

蔡振树

【摘要】反例教学在数学学习过程中可以起到强化概念理解、巩固新知、辨析真伪、寻因纠果等作用，对教与学具有积极的意义，是教学环节提升有效性的有力载体.

【关键词】反例教学；数学学习；作用评析

【基金项目】本文是福建省教育科学规划“十三五”规划2016年立项课题《高中数学作业校本化的实践研究》（立项编号FJJKXB16-192）的研究成果之一.

数学中要判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明，而说明一个命题是错误的，只需举出一个与结论相矛盾的例子就行了.如要否定命题“y=f（x）和y=g（x）都是（-∞，+∞）上的增函数，那么y=f（x）·g（x）也是（-∞，+∞）上的增函数”，只需举出反例：“y=x与y=x均是（-∞，+∞）上的增函数，然而y=x·x=x2就不是（-∞，+∞）的增函数.”这种与命题相矛盾的例子在数学上称为反例.下面笔者根据多年来的教学实践就反例在数学教学中的作用探讨见解.

一、反例教学可强化对概念的理解

数学概念教学，需要不断地强化对概念的理解，正确的例子当然有助于理解概念，但要更深刻领会概念本质，反例教学是有益加强理解的.

例如，关于函数的概念，许多学生往往片面地认为：“一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系.”为了帮助学生纠正这种错误，可向学生提出两个问题：“考试成绩与学习时间成函数关系吗？”“如果y=sec2x-tan2x”，y是x的函数吗？其结果有不少学生会为第一问题的y是x的函数.通过讨论，不难发现，学习时间虽与考试成绩有关，但不能确定考试成绩，即当自变量（学习时间）发生变化时，考试成绩没有完全确定的值和它对应，因此，不符合函数的定义，考试成绩与学习不能构成函数关系，而在y=sec2x-tan2x中，对每一给定的x值，y随x而总有唯一确定的值和它对应，因而，y是x的函数，只不过当x变化时，y的值始终不变，由此使学生认识到y是x的函数，并不一定要y随x的变化而变化.

通过上面的两个反例，学生会自觉地体会到，对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是函数的本质，从而就不会产生以上片面的认识了.

二、反例教学有助于学生巩固新知

定理、公式和法则的学习，条件的适用范围是关键的，往往学生会忽视，通过适当举些反例能帮助学生更好地掌握所学的定理、公式和法则.

例如，函数y=f（x）在什么条件下，才有反函数？学生往往记住：“当且仅当y=f（x）是單调函数时，才有反函数.”其实不是这样的，如举反例：

函数y=f（x）=1，当x=1，0，当x=2，3，当x=3，

此函数图像是三个点：

它显然不是单调函数，但它有反函数

y=f-1（x）=1，当x=1，

2，当x=0，

3，当x=3，

所以应改为“当且仅当y=f（x）是定义域到值域的一一映射时，y=f（x）有反函数.”

如此举反例讲解，使学生更明白函数y=f（x）存在有反函数的充要条件.

又如，三垂线定理及逆定理，学生往往只记住：

“若影垂，则斜垂，反之，若斜垂，则影垂，”而常常平面内的一条直线中“内”的特定条件，

教学中可举出如下反例：

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，∵A′B∥CD′，CD′⊥C′D，∴DC′⊥A′B，又A′B是A′B在平面A′B′C′D′内的射影，故C′D⊥A′B.

事实上，AB′⊥C′D，∠DC′D′=45°，即C′D与A′B′所成的角为45°，并不垂直，造成上述错误的原因是忽视了“C′D并不在平面A′B′C′D′内”用这个反例强调定理中“内”字条件的重要性，学生的体验尤为深刻.

又例如，要说明结论“y=sinx在第一象限为增函数”是错误的，可引导学生举出反例，也就是角x越大，函数值sinx不一定随之越大，如反例：取60°，330°均是第一象限角且60°<330°，但sin60°>sin330°，即32>12.这样，学生容易理解、认识，命题“y=sinx在区间2kπ-π2，2kπ+π2，k∈Z上是增函数”是正确的.也用同样反例说明“y=cosx在第一象限为减函数，y=tanx在第一象限为增函数”都是假命题.

三、反例教学可以辨析结论的真伪

在数学教学中，类比、推广等方法的结论，有些不一定完全正确，反例可以帮助否定这些谬论.

例如，有学生把“圆柱过两条母线的截面中以轴截面面积为最大”的结论类推到圆锥，误认为：“圆锥过两条母线的截面中，也以轴截面的面积为最大？”事实上，如一个锥顶角为120°，母线长为1的圆锥，易知S轴=12×1×1×sin120°=34，作一个顶角为90°的截面，此时S轴=12×1×1×sin90°=12，显然12>34.由此可见，当锥顶角大于90°时，并非以轴截面面积为最大.

又如，有学生把实数集上的运算律“（a·b）·c=（b·c）·a”已成立，把它盲目地类比到向量集合中，误认为“（a·b）·c=（b·c）·a”也成立，为了否定这一谬论，教师可引导学生举出如下反例：在空间向量中，已知|a|=|b|=|c|=2，且〈a·b〉=〈b·c〉=〈c·a〉=π3.那么左边=（|a|·|b|cos〈a·b〉）c=2c，右边=（|b|·|c|cos〈b·c〉）a=2a.

显然2c≠2a，即左边≠右边.这种反例有时比正面讲解，印象更为深刻.

四、反例教学可以引导学生寻因纠果

面对一个数学问题的解答，通过反例可引导学生寻求错因并纠正错误，这也是帮助学生更好掌握解题方法的有力武器.

例如，若方程x2+（k-3）x+6-k=0的两个根都比2大，求实数k的取值范围.

解首先Δ≥0（k-3）2-4（6-k）≥0k≥5或k≤3，①

其次x1>2，x2>2x1+x2>4，x1x2>43-k>4，6-k>4.②

由①②得：k≤-3.

反例：如取k=-4≤-3，则此时方程x2-7x+10=0，已知一个根为2，与题意不符，故上述解答是错误的.

事实上x1>2，x2>2，与x1+x2>4，x1x2>4.

并不等价，后者仅是前者的必要条件，并非充分条件，其错因是将必要条件当作充要条件.

正确解法是：x1>2，x2>2x1-2>0，x2-2>0

（x1-2）+（x2-2）>0，（x1-2）（x2-2）>0x1+x2-4>0，x1x2-2（x1+x2）+4>0，

又由于Δ≥0联合得-4

又如，求证“四面体中的四个面的三角形，至多只有三个是直角三角形”是假命题.

欲证某命题是假命题，只需举一反例：如图所示的四面体ABCD中，已知AB⊥底面BCD，且∠BCD=90°，根据三垂线定理得AC⊥CD，从而可得四个角∠ABC=∠ABD=∠BCD=∠ACD=90°，所以原命题是假命题.

总之，反例因其具有直观、明显、说服力强等突出特点，决定了它在数学教学中起着不可替代的作用，是教与学的有效工具，能为学习找到更清晰的路径和载体.