概率题中五类典型错误剖析

高怀龙

【摘要】概率题是高中数学的一个重要组成部分，也是高中数学教学中的一个重点和难点.本文总结几种概率题的典型错误，并进行剖析.

【关键词】概率；典型；错误

概率解题中容易混淆的概念与易出错的问题很多，有的概率计算相当困难而又富有技巧，为帮助高二同学的概率学习与高三同学复习好概率知识，本文对概率解题中最常见错误而又容易混淆的五个问题进行剖析，希望能对同学们有所帮助.

类型一“非等可能”与“等可能”混同

例1同时抛掷两枚骰子与连续抛掷两枚骰子，求所得点数之和为6的概率.

错解掷两枚骰子出现的点数之和为2，3，4，…，12，共11种基本事件，所以概率为P=111.

剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和为2的只有（1，1），而点数之和为6的前者有（1，5）（2，4）（3，3）共三种；后者为（1，5）（2，4）（3，3）（5，1）（4，2）共5种，而掷两枚骰子前者共21种，后者共36种，是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率：前者P=321，后者P=536.

类型二“有放回”与“无放回”抽样混同

例2箱子中有a个正品，b个次品，从箱子中随机连续抽取3次.（1）每次抽样后不放回，求取出的三个全是正品的概率.（2）每次抽样后放回，求取出的三个全是正品的概率.

剖析关于有放回抽样可以看作有顺序，也可以看作无顺序，其结果一样.

（1）不放回抽样3次看作无顺序，则从（a+b）个产品不放回抽样3次，共C3a+b种方法，从a个产品中不放回抽样3次，共C3a种方法，故取出3个正品的概率为P1=C3aC3a+b.

（2）从（a+b）个产品中有放回抽取3次，每次都有（a+b）种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率为P2=a3（a+b）3.

类型三“平均分组”与“非平均分组”混同

例3有6本不同的书：

（1）分给甲、乙、丙3人，每人2本，有多少种不同的分法？若平均分成3堆每堆2本，有多少种不同的分法？

（2）分给甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种不同的分法？若分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？

错解（1）6本书分给甲、乙、丙，每人2本，共分C26·C24·C22·A33种，若平均分成3堆，则有C26·C24·C22种.（2）两种情况都为C16·C25·C33·A33种.

剖析解与分配有关的概率问题，通常利用分组再分配的方法，分组有需要考虑是平均分配还是非平均分配；是局部还是总体平均分配，是有序分组还是无序分组.所以，上面例题（1）中前者是非平均分组，总共有C46·C24·C22种分法，后者是平均分组，共有C26·C24·C22A33种分法.（2）中前者总共有C16·C25·C33·A33种；后者共有C16·C25·C33种.

类型四“互斥”与“对立”混同

例4把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）.

A.对立事件

B.不可能事件

C.互斥但不对立事件

D.以上均不对

错误答案A.

剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这两者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥事件的概率适用多个事件，但对立事件的概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即：至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且只有一个发生.

例4中事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以选C.

类型五n次独立重复试验中事件A“发生k次”与事件A“第k次才发生”及事件A“第k次发生”相混同

例5在n次独立重复试验中，每次试验中，某事件A发生的概率是0.8，求：

（1）事件A恰好有3次发生的概率；

（2）事件A在第三次才发生的概率；

（3）事件A在第三次发生的概率.

错解（1）P1=C3nP3（1-P）n-3；（2）P2=C1nP（1-P）n-1；（3）P3=C3nP3（1-P）n-3.

分析在上述例题中，最容易混同的是“k次发生”与“第k次发生”等同，且“恰好在第三次事件发生”与“第三次事件发生”相等同.

（1）中说明在n次中有3次发生，不管是哪3次发生，总之有3次，所以事件有3次发生的概率为P1=C3nP3（1-P）n-3.

（2）中“恰好在第3次發生”说明只发生了一次，且只在第三次发生，其他的几次试验都没有发生，故P2=P（1-P）n-1.

（3）中“第3次事件A发生”说明总共进行了n次，其中A发生了3次，且在第n次发生了，所以P3=C2n-1P2（1-P）n-3·P.

总之，在概率问题的教学中，同学们一定要分清楚以上五种不同类型，抓住问题的实质，从根本入手，才能解决具体问题.

【参考文献】

[1]蔡旺.高中概率解题思想的应用[J].科技风，2016（23）：55.