用“解几视角”求分段函数解析式微探

秦士松

【摘要】大家可能都解决过“求有对称特征或有周期性的分段函数解析式”的任务；可能在解析几何中求曲线的轨迹方程时，也常会遇到“相关点”模型，一般我们都会采取代入的方法完成求解.然而，将轨迹和函数统一用“相关点”法来解决的视角，较为少见.在高三复习过程中，课堂上无意间用“相关点”的思想来解释分段解析式的求法时，师生同感别有风味！

【关键词】相关点；代入；解析几何；轨迹；分段函数

相关点法是求轨迹方程的常用方法，具体是指：在同一个坐标系中，当待求轨迹的动点P随着已知轨迹的动点Q产生运动时，根据P，Q两点坐标的关联，将Q的坐标用P点的坐标表示，再把Q点的坐标代入已知轨迹方程中，完成为P点寻找等式——方程的探求.所以，这一方法又叫代入法、转移法！下面我们共同探究一下相关点法在求轨迹方程和求分段函数解析式两个方面的应用.

一、相关点法求轨迹方程

例1已知Q是圆C：x2+y2=16上的动点，M坐标为（4，6），求线段QM中点P的轨迹方程.

解设Q（x1，y1），P（x，y），

因为P是QM的中点，因此2x=x1+4，2y=y1+6，

所以x1=2x-4，y1=2y-6.①

由于Q在圆C上，因此满足x21+y21=16，

将①式代入有（2x-4）2+（2y-6）2=16，

化简得（x-2）2+（y-3）2=4，此即为动点P的轨迹方程.

变式1抛物线y2=12x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A，B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程.

此处用一下重心坐标公式即可完成相关点的探寻，略求之，重心P的轨迹方程为y2=4x-8（x≠3）.（A，B，C三点不共线）.

二、相关点法求函数解析式

例2已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=ex+2x，求x∈（0，+∞）时f（x）的解析式.

解设x∈（0，+∞），则-x∈（-∞，0），

则有f（-x）=e-x-2x.

由于f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），

所以，-f（x）=e-x-2x，即f（x）=-e-x+2x.

此即为x∈（0，+∞）时f（x）的解析式.

其实，上述求解解析式的过程就是求轨迹方程时用到的相关点代入法.下面浅析一二，品品味道.

如图所示，在数轴上找两个关于原点O对称的点Q和P，它们在数轴上的坐标分别为-x和x.

由题，Q点有已知解析式，要为P点寻找解析式，二者是关于原点对称的相关点.

因为只有落在区间（-∞，0）上的点才有解析式可用.

所以，当x∈（0，+∞）时，借由相关性变出-x∈（-∞，0）才是我们希望看到的.

此时将“-x”代入f（x）在（-∞，0）上的解析式中.

这样我们就为x找到了一个等式，化简之后，利用奇函数的特征f（-x）=-f（x），即完成x∈（0，+∞）时求解析式的任务.

特別注意，整个分析过程中的x始终在（0，+∞）上，不能搞错.

变式2设函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称，在x≤1时，f（x）=（x+1）2-1，则x>1时f（x）=.

提示由对称特征可知f（x）=f（2-x），当x>1时，2-x<1，所以，我们有f（x）=f（2-x）=[（2-x）+1]2=（x-3）2.

如此，发现谁和谁是“相关点”了没有？对，就是x和2-x.

例3已知定义在R上的函数f（x）周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，求函数f（x）在区间[1，3]上的解析式.

提示设x∈[1，3]，这是需要求出解析式的区间，它要在已知解析式的区间[-1，1]上找到自己的“相关点”，以完成“代入”的关键一步！不难发现x-2∈[-1，1]，所以，f（x）=f（x-2）=（x-2）2，其实，从图像上看也能轻易看出它是一段由f（x）=x2向右平移2个单位得到的曲线.

下面我们看一道非常经典的问题，咱们用相关点的思路来解决它.

变式3已知定义在（-∞，+∞）上的函数y=f（x），周期为2，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1），已知当x∈I0时，f（x）=x2，求函数f（x）在区间Ik上的解析式.

分析当x∈I0时，即k=0，x∈（-1，1）时，f（x）=x2，有明确的解析式，那么当x∈Ik，即x∈（2k-1，2k+1）时，怎样才能发现可以利用的等式呢？必须借助“相关区间”I0完成寻找解析式的任务，不难发现，x-2k∈（-1，1），也就是说x与x-2k是相关点，那么，根据周期为2可得

f（x）=f（x-2k）=（x-2k）2，x∈（2k-1，2k+1）.

反观本文对“相关点法”的归类，关键在于如何去发现待求变量的“相关点”，然后，借助“相关点”已有的解析式，完成“等式”载体的探寻，这种思想本质上与知识点无关.无意之举，竟有所得，细细品来，收益颇丰.