Poisson分布研究设备更新与维修方案

摘要：本文是设备更新与维修的方案优化问题，分析设备每年价格以及使用不同时间所需的维修费用，找到最优的一种方案使得一定期限内设备更新与维修所需支付总费用最少，这对工厂的生产生活有着重大意义。对每台设备在不同时间价格以及使用不同时间所需维修费用通过最短路问题进行分析，得到了四台设备更新维修的最佳方案。针对此案例，我们使用了图论和 Dijkstra 算法，利用Poisson分布原理二项分布的近似计算，得出以下结果：

设备一：第一年年初购买设备，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年结束，所需费用为 84.03 万元。

设备二：第一年年初购买设备，第六年年初更新直至第十年结束，所需费用为 142.52 万元。

设备三：第一年年初购买设备，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年结束，所需费用为 247.1 万元。

设备四：第一年年初购买设备，第五年年初更新直至第十年结束，所需费用为 65.6 万元。

利用泊松分布，分别乘以对应的概率可得在题设条件下十年之间设备更新维修最优方案所需最少费用为 707.0788 万元。

【问题分析】

本问题假设在第 k（k=1，2，…，10）年，生产线的第 i（i=1，2，3，4）台设备出现严重损坏，（并且假设出现严重损坏的年份及设备服从参数为λ的 Poisson 分布或其他分布），因此我们首先通过 Poisson 分布计算出来生产线的第 i（i=1，2，3，4）台设备在第 k（k=1，2，…，10）年出现严重损坏的概率，做出表格。此时需要购买一台新的设备，根据问题二中的方法，整合分析得到该生产线十年之间的最有设备更新与维修方案。

【问题求解】

假设在第 k 年（k=1，2，…，10）年，生产线的第 i（i=1，2，3，4）台设备出现了严重损坏且无法维修，必须进行购买，题目中假设严重损坏的设备及年份服从参数为λ的 Poisson 分布，所以我们需要采用 Poisson 分布进行二项分布的近似计算，然后分别算出这十年中每台设备每年需要更换的概率。在此基础上，在进行类似问题二的计算，计算这十年间在这一假设条件下所求的最佳设备更新维修方案。

1.首先，本题要研究的是假设在第 k（k=1，2，…，10）年，生产线的第 i（i=1，2，3，4）台设备出现严重损坏，观察题目中所给的数据以及上面关于泊松分布近似计算的理论分析可得，该问题属于泊松分布的问题，，若要具体算出λi 的值，需要利用λ = np，即我们需要确定 n，p 的值，由题意可知，n 为本题研究的年数，即 n=10；

而本题 p 未具体指明，因此我们假设 p=1/10，故此时λ=np=1。然后接上面得到的λ带入计算，同时分别将 k 赋值（k=0，1，2…10），由此可将对 k 附不同的值所对应的概率算出来，见下表：

表 1 泊松分布概率

2.根据上述得出的概率，利用 Matlab 数学软件，可将此时λ对应的泊松分布的图像画出来，见下表：

图7 泊松分布

3.由题意可知，本题需要研究的仍未这十年间四台设备更新以及维修问题，由此可推出本题加权有向图与第二问的加权图相同的顶点数为 11，根据顶点计算边数公式可得，该问一共有 55 条边，可得加权有向图

将以上数据输入程序，得出设备四最优方案为：第一年年初购买设备，第五年年初更新直至第十年结束，所需费用为 65.6 万元。

5.利用 Dijkstra 算法以及以上所求数据即可求出最短路径以及最优化的方案：

設备一：第一年年初购买设备，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年结束，所需费用为 84.03 万元。

设备二：第一年年初购买设备，第六年年初更新直至第十年结束，所需费用为 142.52 万元。

设备三：第一年年初购买设备，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年结束，所需费用为 247.1 万元。

设备四：第一年年初购买设备，第五年年初更新直至第十年结束，所需费用为 65.6 万元。

利用泊松分布，分别乘以对应的概率可得在题设条件下十年之间设备更新维修最优方案所需最少费用为 707.0788 万元。

参考文献：

[1]张勤.Dijkstra 最短路径算法的 C 语言实现[J].福州大学学报， 2011， 4：24-27. ZHANG QIN.The shortest path Dijkstra algorithm with C program[J]. Journal of Fuzhou University，2011，4：24-27 [4]丁克良，欧吉坤，赵春梅，正交最小二成法曲线拟合法[J]。测绘科学，2007，32（3）[5]章文波，陈红艳.实用数据统计分析及 SPSS 应用[M]，人民邮电出版社，2006.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅，等编.概率论与数理统计：第三版.高等教育出版社，2001.

作者简介：路雯涵，女，1995年12月出生，河南南阳人，本科生，信息与计算科学专业。