n个一维同频简谐振动合成的简易推导

经本合

(重庆市巴南区教师进修学校 重庆 401320)

胡安良

(重庆市实验中学校 重庆 401320)

在力学、声学、电磁学和光学中都会遇到一维同频简谐振动的合成.一般多用旋转矢量法处理两个一维同频简谐振动的合成，得到合振动的振幅与初相位公式[1].对于n个一维同频简谐振动的合成，文献[2]认为“旋转矢量合成法虽然原则上可行，但计算过程较为繁复，甚至不可行”，故另辟蹊径用待定参数法研究.事实上，文献[2]的求解过程太繁琐冗长，改用传统的旋转矢量法，可以简捷地得到答案，推导篇幅不及原方法的四分之一.

x=Acos (ωt+φ)

图1 情境图

由于“合矢量的分量等于各矢量的分量的代数和”，不难求出合振幅

(1)

注意到

最后一式因为

所以AiAjcos (φi-φj)对于i,j下标具有交换对称性，故合振幅也可写为

(2)

(3)

不难发现，上面的式(1)～(3)与文献[2]的结果是一致的，但方法却简单直观得多.