学生追问“节外生枝” 师生探究“枝繁叶茂”
——一道高三复习题的教学实录和反思

鲁 琛

(江苏省南京市溧水高级中学 211200)

一、原题重现

这是我在一节高三复习课《抛物线的标准方程及其性质》上的一道例题，起初设计了四道填空题，两道解答题，以及三个变式问题.可是当讲解例1时，学生提出了一些“节外生枝”的问题，然后我就改变教学进度，和学生一起探究，最后收获很大.

师：同学们根据题目给的条件和问题，现在求直线方程你缺少什么条件？怎样运用斜率？哪位同学把自己的想法写写看.

生1：设直线的方程为y=kx-1，点A(x1,y1),B(x2,y2).

师：很好，同学们还有没有其它的解法，说说看.

师：同学们比较一下，两位同学的解法，生1用了设而不求的方法具有一般性.生2用了设点的坐标，这种设法一般只有抛物线才行，如果是椭圆和双曲线就没有那么方便了，除了参数方程外.

生3：(这时一个学生站了起来问道)生1用设而不求的方法求解时，最后化简结果等于k，也就是说kOA+kOB=kAB.如果斜率之和为2，那么直线l的斜率就是2，斜率之和为k，那么直线l的斜率就是k.

师：(面对学生这样的回答我楞了一下，为学生发现的问题而惊叹！)生3发现了一个一般性的规律，其实条件不一定是1，是任何一个常数我们都能求直线方程，同学们思考一下，还有没有问题？(这时学生在思考这个结论的正确性同时还在寻找问题挑战老师)

二、节外生枝，共同探究

生4：如果直线不过点(0,-1)，那么kOA+kOB=kAB结论是否成立呢？

(自以为自己备课已经非常充分，但是也没有考虑过这个问题，而学生居然第一次做就提出这个问题，当面对这群面带疑惑的学生时，我觉得没有理由搪塞过去，应该和大家一起探究)

师：这个想法很好，一般化.同学们思考一下.(这是我灵机一动，学生既然可以让直线不过点(0,-1)，那么如果是抛物线的p不知道呢？这时我在黑板上写出两个变式题.)

变式2：抛物线x2=-2py(p>0)与过点M(0,-1)的直线l交于点A,B，O为坐标原点.若OA,OB的斜率之和为k，求直线l的斜率.

(学生努力地去探索，不仅得到一个有用的结论，还成功地经历了一次数学探索之旅.这已经不仅仅是一道数学题的解答，而是一种数学问题的探究和数学思想的完美展示.是学生主动地汲取，而不是教师被动地传授.这个时候离下课还有五分钟，往下上也来不及了，下面时间怎么办呢？)

三、因势利导，枝繁叶茂

师：(趁热打铁)通过上面大家的努力，我们得到了开口向下的抛物线的一个一般性结论，那么同学们再思考一下，你还有哪些问题想提出的？对不对大家课后继续探究.

(学生们积极思考，举手踊跃，交流自己的想法)

生5：如果抛物线方程改为开口向上即x2=2py，“kOA+kOB=kAB”成立吗？

生6：如果抛物线方程开口向右(左)，即y2=2py(p≠0)，“kOA+kOB=kAB”成立吗？

生7：如果抛物线是我们初中学的二次函数的一般方程，不是标准方程，有什么结论成立呢？

(此时下课铃声响了，我不禁给学生们这么多好的想法鼓起掌来，大家在我的带动下一起鼓起了掌，然后我让同学们下课继续思考)

下课后，生5告诉我，他提的问题自己能解决，其实开口向上只要把原来的p改为“-p”即可，对题目中的其它步骤没有影响.所以结论一定正确，然后他把他的写法给我看了，我肯定了他的结论.

四、课后探究与提升

探究：其实开口向上的问题，只要把原来变式2中的“p>0”改为“p≠0”即可.那么开口向左(右)呢？生7的问题对吗？

五、认识与反思

反思：作为一名教师，平时总是以严谨的态度投入工作，对一些知识的引入、例题的讲解也是精心准备，然而这样的精心备课，又不得不引起我们的反思——课堂仅仅是教师讲吗？也正因为教师的“滴水不漏”，课堂上学生总是“比较轻松，只需要安静地去听”.这样的课堂学生听听容易但是轮到自己做题时往往不会思考，没有头绪.也是现在普遍存在的问题“听懂≠会做，会做≠做对”.关键就是缺少学生思考的过程和时间.

我们不应受传统教学教学思想的束缚，在教学过程中不拘泥于预设.努力实践不断反思，应用自己的教学智慧让“节外生枝”变得“枝繁叶茂”.