转轴拨弦三两声，未成曲调先有情
——从高中数学核心素养的视角看立体几何引言课教学

浙江省北仑明港高级中学 (315805)

周秋艳

1.背景

随着教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》的发布，“核心素养”一词迅速升温为“热词”.相应的，高中数学课标修订组给出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养.但如何在教学中把核心素养落在实处？关键是要“示以学生思维之道”，让学生经历完整的“获得对象-研究性质-应用拓展”过程，使学生学会思考，能用数学的方式认识问题和解决问题.

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学学科，人们常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及性质.三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力和运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必修课程的一个基本要求.核心素养视角下立体几何引言课的核心价值不在于学习多少知识，而在于其作为先行组织者的功能与价值，即引言课能在多大程度上激发学生的学习兴趣，能在多大程度上对后继学习起引领、指导、组织作用.通过对本章要学习的内容和研究的方法初步的了解，使学生做到心中有数，为后继学习做好充足的铺垫和心理准备，唤起了学生对本章学习的强烈期待，做到“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”.

“好的开始是成功的一半”.因此，为实现一章学习的良好开端，我们不能急于进入知识的讲解、技能的训练、习题的演练.所以在立体几何引言课教学中，应以学生空间概念的建立及空间思维的形成为重点，提高对学生空间想象能力的培养，同时努力实现以下几点目标：(1)通过本节课的学习，使学生了解立体几何的研究对象、研究内容、研究方法以及培养学生的空间想象能力；(2)通过游戏让学生观察、思考、比较.让学生在有趣的活动中建立空间概念；(3)在教学活动过程中激发学生学习立体几何的兴趣，培养他们善思的学风、探索的精神.

2.教学过程简录

2.1 运筹帷幄有玄机——研究立体几何的必要性

图1

探究一：请同学们观察这幅图，你认为是什么图形？画的是什么？

学生反应比较多的是平面图形，像走廊、像电视机的背面，也有说像四棱台的……

设计意图：关注学生的生活经验和已有的知识体验是《新课程标准》的理念之一.用生活实例创设情境，让学生亲自动手，自我发现，同时也培养了学生的空间想象能力.

探究二：你能用6根长度相等的木棍拼出四个全等的正三角形吗？而且三角形的边长恰好是木棍的长.

活动设计：把学生分成若干小组，每一组分发六根长度相等的木棍，由学生拼图，然后选取一组学生到讲台上展示自己的成果.

活动过程：学生很容易在桌面上用五根木棍拼出两个全等的正三角形.三角形数量不够，不合题意.此时教师提示：“四个三角形一定在同一平面上吗？”这时有部分学生恍然大悟，小组同学通力协作，拼出了四个全等的正三角形，各小组争相展示自己的作品，学生们体会到了探索的乐趣，成功的快感.

设计意图：通过游戏激发了学生的学习兴趣，获得了愉悦的数学学习体验，同时促进学生主动建构有关的数学知识，达到让学生在主观意识上发现在现实世界里只研究平面问题是不够的，把学生的视线由平面引导到了空间，形成平面图形到立体图形的转化，冲出平面，走向空间，使立体几何的引入变得水到渠成.

2.2 不为浮云遮望眼——关注立体几何的研究对象、内容

问题1 我们生活在丰富多彩的图形世界中，从太空的天体到现实世界的建筑，从居家的装饰到生活用品器具，再从机械零件到微观世界的分子结构.自然界展现了丰富多彩的几何图形.请看下列图片，你能从中找到哪些熟悉的空间图形？

小组讨论得到答案：锥体、圆柱体、长方体、球体等等.

在讨论过程中引导学生认识空间复杂几何体一般都是一些柱、锥、球等简单几何体组合而成的，并指出几何学的研究对象和在各领域的广泛应用价值.

设计意图：使学生从图片展示中感受立体几何与我们的生活环境密切相关，学习立体几何知识对我们更好的认识世界具有重要价值和意义，增强本章内容与学生的亲近感.

问题2 平面几何研究对象、内容是什么？

学生回答，教师补充.

对象：平面图形；内容：点、线的位置关系、图形的画法、相关计算及应用.

猜想一下，立体几何研究的对象和内容是什么？

引导学生看图片、实物模型，回答下列问题：

(1)比较老师画的图2，图3，哪一个更像长方体？

学生回答：图3，因为图2都是实线看上去像是平面图形.

图2 图3

(2)在图3中，指出∠A1D1C1、∠A1AD的大小.

生：从图中看∠A1D1C1是钝角，∠A1AD是锐角.

师：它们都是直角.

(3)点B1在直线AD上吗？直线B1B与直线CD相交吗？

生：点B1不在直线AD上，直线B1B与直线CD不相交.

师：这表明空间图形与平面图形在画法上的差异，在直观图中判断图形的形状不能沿用平面的眼光，要看得“深远”，要有立体感.

从而引导学生发现立体几何的研究对象是：空间中的点、线、面；研究的内容是空间图形的画法，点、线、面的位置关系，计算角的大小，线段的长短，面积、体积的大小.

2.3 千树万树梨花开——学习立体几何的思想方法

著名教育家苏霍姆林斯基曾说过：“让学生体验到一种亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年对知识产生兴趣的重要条件.由此，请同学们思考下面这个生活的问题：

问题3 已知a,b,c表示直线,(1)若a∥b,a∥c,则b∥c;(2)若a⊥b,a⊥c,则b∥c;正确吗？

预期学生答案：在同一平面内(1)、(2)都是真命题，在空间内(1)仍然是真命题，但是(2)不一定成立，如教师引导学生发现墙角处的三条直线，满足的是三条直线两两垂直.即a⊥b,a⊥c,b⊥c.

活动设计：引导学生发现身边的实物如纸张、笔作为工具，来说明这一问题.

设计意图：培养学生的动手能力、从现实生活中寻找解决问题方法的能力以及说明平面几何中成立的结论在立体几何中不一定成立，不成立的举出反例来即可.考虑问题时要着眼于整个空间，不能局限于一个平面.同时要善于与平面几何做比较，认识其相同点，发现其不同点，即平面几何的结论不能原封不动地搬到立体几何中，但在立体几何图形的一个平面上，平面几何的所有结论全都可用，这种思想方法就是类比思想.

图4

问题4 在桌面上放置一个长方体ABCD-A1B1C1D1,其中AB=3,AD=2,AA1=1,在长方体的顶点A处有一只小蚂蚁，沿表面爬到顶点C1处，爬行的最短路程是多少？

请同学们为小蚂蚁选择恰当的路线，最快到达.

活动设计：学生独立思考，然后小组内讨论，最后选派代表发言.(图4)

活动过程：经同学们认真思考，排除了小蚂蚁沿着AC1爬行，即从长方体内部穿过，成为穿山甲的可能，激烈讨论，得出如下几种结论.

①小蚂蚁穿过棱BB1，爬行至C1处；

②小蚂蚁穿过棱A1B1，爬行至C1处；

③小蚂蚁穿过棱BC，爬行至C1处；

④小蚂蚁从A到B，从B到C，从C到C1；

⑤小蚂蚁从A到B，从B到B1，从B1到C1；……

在这些路线中哪一条最恰当呢？④、⑤种情况很容易计算得出结论.但过棱BB1上的某一点到C1处，这一类型的路线长度如何计算呢？

设计意图：以具体的几何模型为载体，让学生明白立体问题平面化是解决立体几何问题的重要方法之一，培养了学生的空间想象能力、促进了学生空间概念的建立.从而进一步激发学生研究立体几何的兴趣与热情.空间图形的长度和角度计算问题一般要转化为平面图形去解决，只要转化到平面图形中，就可以运用平面几何知识去解决，这就是转化思想.

2.4 小结提升

立体几何研究的对象：空间图形

立体几何研究的内容：

2.5 教学反思

本节课的成功之处：(1)用熟悉的问题吸引学生的注意力，用活动激发学生的兴趣，把立体几何寓于对问题的分析、认识当中；(2)在教学方法上，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，引导学生充分发挥自己的想象力，去发现立体世界的神奇奥秘；(3)以活动为主的课堂教学方式充分体现了“以人为本”，以学生为主体的新课程教学理念.

需改进之处：由于时间的关系，在这堂课中完成了立体几何的研究对象和内容后，没有强化学生画图识图能力.若时间充裕，一定会布置一定数量的图片对比，和学生动手画图的习题，让学生在画图识图过程中强化空间想象能力的培养，为学习三视图和直观图做好铺垫.

3 核心素养视角下的引言课教学思考

3.1 引言课的教学价值

为何要上引言课？一言以蔽之：了解过去，展望未来，激发兴趣；一斑窥豹，充满期待，再创辉煌.教材最基本的功能就是教学资源.引言作为全章起始的序曲，是全章内容的引导性材料，决定了他们在教学中的作用和功能.良好的开端往往有事半功倍之效，向学生介绍本章知识的必要性、知识的结构框架、学习时采用的思想方法，并展示相应的数学文化，激发学生学习的兴趣，营造积极向上的学习氛围，培养学生的学科素质.

3.2 引言课的现状

虽然“章头图”和引言课有很多的教学功能，但在现实的教学中，许多教师并没有给出足够的重视，原因很多：要么是认为引言内容过于简短，缺乏相应背景资料，没什么好讲；要么是查找资料发现要讲的内容还真多，没有独立的课时安排，怕影响进度；还有就是准备不充分，对学情没有清晰的认识仓促上阵，使学生更加糊涂，上还不如不上.这些做法严重影响了引言课拉长生长链的功能，使学生学习缺乏整体性和思想性，知识碎片化，不利于学科素养的提升.

3.3 怎样上好引言课

按照布鲁纳的学科结构论的思想，每个知识点的出现，都应该既自然又必然，所以章引言就很重要，结构主要由“为什么要学这一章？”、“学什么？”、“怎么学？”，基本遵循“情境创设——问题提出——互动交流——章引言解读——点评”的模式.引言课要尽可能挖掘即将学习这一章或一门学科中既有典型性、趣味性、艺术性等人文价值，又能体现主要内容和思想方法的元素，以调动学生的积极性，激发学生对新课的向往.要通过简单的例子说明深刻的道理.立体几何的引言课教学要体现“冲出平面，走向空间，回归平面”的思想.

数学的思想不是靠讲解让学生理解，而是靠创设情境让学生感悟的.本文中教学特别注重数学直觉，追求数学本真.从游戏棒搭建三棱锥、正方体的线面关系到蚂蚁在长方体表面爬行的最短距离，都是以具体的几何模型为载体，带领学生观察、思考、讨论、归纳，处处渗透类比、转化的思想，让学生真切地体会了在空间中是怎样研究几何问题的思考方法.为了让学生在起始课的起承转合之中学会起从章引言、启在章引言和始于章引言，将立体几何研究的主要对象、核心内容、重要特性以及主旨数学思想方法巧妙地交织在一起，绘制了一幅图文并茂的立体几何画卷，搭建了全章的知识框架，又通过章引言开启了课堂的教学流程，实现了教学的四个环节.不仅可使学生善于反思，乐学善学，更可以培养他们勇于探索，敢于批判质疑的能力.让学生掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质和实践经验，形成和发展核心素养.

现在的教学要求教师必须转变教学观念，改变传统的教学方法，改善学生单一的学习方式.但改革必须有抓手和依托，每章的引言恰恰给我们提供了契机.从这一意义上说，引言教学犹如一面窗户，映衬出课程改革的全貌.通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能多一份水到渠成，体会到由“关注知识”转向到“关注学生”.在教学过程中，注意到由“给出知识”到引起活动“自主探知”，由“完成教学内容”转向“促进学生发展”.但学生的日常经验还不能支撑全部数学，因此数学教学要把隐藏在背后的理性思考激活，要把数学的文化价值点穿，帮助学生体会“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的数学解题意境，学生才会喜欢数学.一堂好课，师生一定会有共同的，积极的情感体验.