非齐次线性方程组在投入产出问题中的应用

吕晓蝶 陈滔

摘 要：线性方程组是数学研究的核心问题之一，而非齐次线性方程组又是线性方程组的基本内容，在生活实践中非齐次线性方程组广泛的应用于经济学上的投入产出问题，本文详细介绍了经济学上的投入产出问题，并通过建立模型的方法来求解该问题。

关键词：非齐次线性方程组；投入产出问题；数学模型

一、问题背景

在一个地区或国家的经济系统中，各企业（各部门）既有消耗又有生产，也可以说既有投入又有产出。生产的产品供给给系统和各部门外以满足需求，同刷也消耗了系统内各部门的所提供的产品（当然，还有其他的诸如人力消耗等因素），消耗的目的是为了生产；生产的结果必然要1创造出新的价值，用于获取利润和支付工资。显然对每一个部门来说，新创造的价值和物资消耗等于它生产的总价值。这就是投入和产出的之间的平衡关系。

由俄裔美国经济学家W.Leontef在20世纪30年代初期首先提出并成功地建立了研究国民经济的投入产出的数学模型，这一方法就是投入产出法以其重要的应用价值迅速被各国经济学界和决策部门采纳。W.Leontief也因此在1973年获得若贝尔经济学奖。

二、实际问题

我们可以用一个城镇的三个企业作为经济系统，来说明投入产出法在经济分析上的应用。

某城镇有三个主要的企业：电厂，煤矿和地方铁路作为它的经济系统。生产价值1元的电，需要消耗0.40元的煤费，0，05元的电费和0，10元的运输费；生产价值1元的煤，需要消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；而提供价值1元的铁路运输服务，则需要消耗0.45元的煤费，0.10元的电费和0.10元的运输费。在某一周内，除了这三个企业的彼此需求，电厂还得到25000元的订单，煤矿还得到50000元的订单，而地方铁路得到30000元的运输需求。试问：

1.这三个企业在这一周内各应生产多少产值才可以满足内外需求？

2.除了外部需求，试求出这周内各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值（即产值中除去各企业消耗所剩下的部分）。

三、模型建立

设煤矿，电厂和地方铁路在这周内生产的总价值分别是（元），则可以建立下列非齐次线性方程组。

0x1+0.40x2+0.45x3+500=x10.25x1+0.05x2+0.10x3+2500=x20.35x1+0.10x2+0.10x3+3000=x3 （1）

線性方程组（1）的意义是：每个等式以价值形式说明了对每一个企业可有：

中间产品（作为系统内各企业的消耗）+最终产品（外部需求）=总产品

也可以称线性方程组（1）是分配平衡方程组。

另一方面，如果设z1，z2，z3（元）分别是煤矿，电厂和地方铁路在这周内的新创价值。则亦可建立下列非齐次线性方程组

0x1+0.40x2+0.45x3+z1=x10.25x1+0.05x2+0.10x3+z2=x20.35x1+0.10x2+0.10x3+z3=x3 （2）

线性方程组（2）的意义是：每个等式以价值形式说明了对于每一个企业都有：

对系统内各企业产品的消耗+新创价值=总价值

称线性方程组（2）是消耗平衡组。

四、模型求解

可将线性方程组（1）改AX+Y=X写成矩阵形式为

其中

在经济学中将矩阵称为直接消耗矩阵，A中的元素aij称为直接消耗系数。向量X称为产出向量，向量Y是最后需求向量[2]。

由AX+Y=X得（E-A）X=Y （3）

这是一个关于x1，x2，x3的非齐次线性方程组，解线性方程组（3）得

因此可知在这周内，煤矿，电厂和地方铁路的总产值分别是114458元，65395元，85111元才能满足内外需求。

又由于得到了系统各个企业的总产值（即产出量），我们可以直接利用消耗系数矩阵进行每个企业分别用于企业内部和其它企业的消耗计算：

上面等式右端矩阵的每行给出了每个企业分别用于企业内部和其它企业的消耗（即中间产品）。进一步利用线性方程组（2）可求得各企业新创造的价值z1=45784，z2=29427，z3=29789。

本文详细介绍了经济学上的投入产出问题，并通过建立模型的方法来求解该问题。首先介绍了问题背景，是在某个地区，有三个互相关联的企业（如电厂，煤矿和地方铁路）这三个企业在一周内都要完成所得到的订单，求出这三个企业在这一周内各应生产多少产值才可以满足内外的要求，和求出这三个企业新创造的价值（即产值中除去各企业消耗所剩下的部分）通过题目给出的条件建立数学模型，求解该模型，最后就可以得到问题的结果。这就是求解线性方程组在实际应用的基本思路和方法，这也是解决现实生活中基本问题的思路和方法。