数学问题解答

2018年7月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(浙江省宁波市甬江职高 邵剑波 315016)

解先给出以下两个结论:

结论1: 当n≥2时,0

结论1的证明:用数学归纳法.

(1)当n=2时,a2=ln(e-1),

故有0

(2)假设当n=k时结论1成立,

即0

那么当n=k+1时,

ak+1-ak=ln(eak-ak)-lneak

故ak+1

由不等式ex>1+x(x>0)得

ak+1=ln(eak-ak)

>ln(1+ak-ak)=0,

这样0

由(1)(2)知,结论1成立.

f(0)=0,f(1)=e-2.75<0,

由不等式ln(1+x)0)及结论2得

an+1=ln[1+(ean-1-an)]

2432设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,则

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明为书写简便,令∑表示三元循环和,且设待证不等式左右之差为M,

故命题成立.

2433如图，I是△ABC的内心，AI，BI，CI分别交外接圆于A1，B1，C1，R，r分别为△ABC外接圆与内切圆半径，求证：

(Ⅰ)IA+IB+IC≤IA1+IB1+IC1

(1)

(Ⅱ) 6r≤IA+IB+IC≤3R

(2)

(江西省九江市德安磨溪中学 胡文生 332000)

证明如下图，连接BA1，A1C，则BA1=A1C，

在△BA1C中，由正弦定理得

过点I分别作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，

则ID=IE=IF=r, 且

故(1)式等价于

上式又等价于

(3)

和

=2x(y-x)+1-2[y2+x2-1+2(1-2x2)xy]

=8x3y-4x2-2xy-2y2+3

=(1-4x2)(1-2xy)+2(1-y2)

(4)

不妨设A≥B≥C≥0，

所以1-4x2≥0， 1-2xy≥0， 1-y2≥0，

从而 (4)≥0，即(3)式得证，也就是(1)式得证.

另一方面，由(1)式可得

2(IA+IB+IC)

≤(IA1+IA)+(IB1+IB)+(IC1+IC)

=AA1+BB1+CC1≤2R+2R+2R=6R，

所以IA+IB+IC≤3R.

又由艾尔多斯—莫迪尔不等式得

IA+IB+IC≥2(r+r+r)=6r，

所以 6r≤IA+IB+IC≤3R，

即(2)式得证.当且仅当△ABC为正三角形时(1)，(2)两式等号成立.

2434设正数a,b,c满足a+b+c=3，求证：

(1)

其中“∏”表示轮换对称积

(四川成都金牛西林巷18号晨曦数学工作室宿晓阳610031)

证明由条件易知(1)式等价于

(2)

由对称性不妨设0

则b+c-a>0，c+a-b>0.

于是当a+b-c≤0时，(1)式显然成立.

当a+b-c>0时，则易知

(3)

事实上，(3)式等价于

4a2bc≥(b+c)2(c+a-b)(a+b-c)

⟺(a+b+c)(b+c-a)(b-c)2≥0，

此式显然成立.故(3)式成立.

同理

三式相乘并整理，即得(2)式.

综上所述(2)式得证.故(1)式成立.

2435设A，B，C为△ABC的内角，则

(陕西延安育英中学 尚生陈 716000)

2018年8月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(安徽省太和县第二小学 任迪慧 随礼敏 236630)

(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)

2438在△ABC中，设三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，三角形面积为Δ，

(1)

(河南质量工程职业学院 李永利 467000)

2439锐角三角形ABC各边AB，AC和BC分别被延长到点D，E，F，△ADE，△BDF和△CEF的外心分别为O1，O2，O3，如果∠DCA=90°，∠EFC=∠BAC，证明：△O1O2O3∽△ABC.

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

2440令T={9k|k∈Z,1≤k≤2018}，已知92018是1926位数 ，问T中有多少个元素以9为最左边的数字？

(湖北省谷城县第三中学 贺斌 龚云峰 441700)