提升学生解析几何运算素养的策略

陈 耀

（古田县第一中学，福建 古田 352200）

教育部出台《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》后，“核心素养”成为热门话题。高中阶段数学核心素养包括数学运算等六个方面，这些数学核心素养是一个有机整体，既交融又独立。数学核心素养中的数学运算是可以在学习数学的过程中逐步形成的，是可以在数学计算试误，积累计算经验后反思，反思后又运用的过程逐渐培养的。每位教师应努力探寻培养学生数学运算能力的有效途径，并思考如何落实这些有效途径，这在解析几何的教学中是非常有意义的。

在解析几何中，解决问题的难易、繁简跟解法选择是否恰当有密切的关系，学生往往受制于传统思维，不能灵活运用已会知识去对其进行巧妙处理。使用传统方法解决问题通常会包含复杂的运算，长此以往必导致失去解题的信心。因此，在教学过程中，教师务必要引导学生探寻提升解析几何运算素养的方法，使问题解决的过程真正体现出数学的简洁之美，并激发出学生思考的热情。这显然是有利于提高学生的思维素质和数学运算能力的。降低运算量的方法和技巧很多，笔者将结合此前获得过2016—2017年度“一师一优课，一课一名师”部优的课例，并结合解析几何中的典例浅谈以下九种策略。

一、巧建坐标系

如何建立坐标系决定了曲线的方程的表现形式，合理选择坐标系，则能化繁为简、简化运算、事半功倍。在建系的过程中要精准把握已知信息，抓住已知条件出现的特殊点与线。例如，将线段的中点、图形的对称中心和曲线的特殊点作为坐标原点，将曲线的对称轴或某些特殊线作为坐标系的横纵轴。

例1已知定圆B的半径为16，其内部的定点A与B点的距离为10，则与定圆B相切且过定点A的动圆圆心的轨迹为_________________ 。

解：以线段AB的中点为原点，直线AB为X轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系。设动圆圆心为P（X，y），两圆的切点为T，则A（-5，0），B（5，0），且|PA|+|PB|=|PT|+|PB|=16（16＞|AB|）；由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A（-5，0），B（5，0）为焦点，长半轴长为8的椭圆。（椭圆方程为：

点评：建立坐标系是解析几何的基本思想，坐标系建成后，几何问题方可使用代数的方法来解决，这样一来无形中就降低了由纯几何带来的思考难度。因此，选择合理的位置来建系是降低运算量的关键，能否合理建系也体现了对解析几何中曲线的定义以及对称性等知识点的掌握是否熟练。

二、巧用定义

任何一个新模块知识的学习，都离不开对概念的界定，解析几何也不例外。圆锥曲线知识在学习的过程中是循着定义导方程，由方程得图象，由图象得性质，由性质得应用等过程进行的。定义是基础，是关键。命题者在命题过程中往往会把定义“隐藏”起来，只有善于观察，挖掘出其想考查的定义，才能达到简化运算的目的，使问题能够轻松解决，使解题建构在较高的层面上。

解：当PF2与圆x2+y2=b2切于点G时，

有|OG|=b，但|OF2|=c，

∴|OF2|=a.

∴2a=|PF1|-|PF2|=2b-2a，

∴b=2a.

∵∠OGF2=90°，

点评：本例中P为双曲线右支上一点，利用定义迅速得到a，b的关系，简化运算。笔者发现这类问题有时还会隐藏其一个焦点，若遇此类问题，不妨把这个焦点给补上，利用上椭圆或者双曲线的定义，往往事半功倍。总之，遇到解析几何问题的第一个想法就是先“找定义”，后“套定义”。

三、巧用平面知识

解析几何归属于几何，曲线或图形往往具有某些特殊的几何性质。因此，能否熟练提取、合理利用平面几何性质等知识来解题直接决定了解析几何运算量的大小。

例3 已知圆C：（x-4）2+（y-3）2=4，直线l：y=（x-1），直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点。若直线l与直线l'：x+y+2=0交于点N，直线l过定点A，求证：|AM|·|AN|为定值。（如图2）

即 |AM|·|AN|=|AC|·|AD|，

点评：若按传统思维，应先求M、N两点的坐标，再用两点间的距离公式将|AM|·|AN|表示，计算量较大。本题巧用平几知识，减少了复杂的运算量。许多解析几何问题，通过充分利用平面几何的某些性质可以达到减少运算量的效果。比如，在解题过程中可利用圆直径的两个端点跟圆周上除此两点外的任意一点的连线是直角，菱形对角线垂直平分，直角三角形的射影定理等性质。

四、巧用向量

向量是既有大小又有方向的量，从概念就可以看出它是数与形的交汇点，巧用平面向量的知识解题可使解题运算量降低，过程简单明了。向量是重要的数学模型，在解决一些解析几何的问题中能够为学生提供新颖的思路。通过构造向量可以让学生有效地把握几何图形，以此来解决问题。下面我们通过引入向量来解决例3。

点评：若按传统方法，计算量非常大。本题巧用平面向量数量积的概念及向量投影的几何意义，规避了复杂的运算，充分发挥了向量工具性的作用。向量是几何与代数的桥梁，所以，能否运用向量知识来解题已经成为了当前核心素养导向下高考的考查亮点。

五、巧用二级结论

所谓二级结论，就是由定义、方程、简单性质等进行进一步推导、引申而得到的一些常用结论。比如，利用圆锥曲线统一定义得到的焦半径公式、椭圆与双曲线的一些对偶性质等。适当地记住一些常见数学模型以及所对应的相关结论，对解题特别对于选填题的解答有极大的帮助，使学生在解题中减少运算量，提高解题速度与准确度。

解：设M（x0，y0）为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为e，由焦半径公式得|MA||MB|=（a+ex0）（a-ex0），显然当时x0=0时，|MA||MB|取得最大值a2。

点评：本例若直接利用两点间距离公式代入后求其最值，虽然这个想法很自然，但解决方案过程有大量的计算，且较难得正确结果。若能利用椭圆焦半径公式，便可优化解题过程，减少运算量。

六、巧用数形结合

数形结合是解决解析几何问题的一种常用“套路”，它是通过“以形助数、以数解形”的方式，利用数与形之间的互相转化来解决问题的。巧借几何的图形特征，可以迅速找到问题的破口点，简单方便地解决问题。

解：如图3，圆M的圆心为M（0，2），且半径r=1。

解析几何涉及到较多方程问题的考查，其解决的通性通法往往是根据方程思想，需要求几个未知数就列出几个方程。因此，引入的量越少，所需方程数越少，运算量越少，故巧设方程呼之欲出。

例6 求以2x±y=0为渐近线，且过点（1，1）的双曲线方程。

解：由题意可设双曲线方程为4x2-y2=λ（λ≠0），又由于过点（，1），代入可求得λ=3，故所求双曲线方程是x2-y2=3。

点评：设圆锥曲线方程的常见技巧有：待定型椭圆可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），待定型双曲线可设为mx2+ny2=1（mn＜0），x型抛物线可设为y2=mx（m≠0），y型抛物线可设为x2=ny（n≠0）。再如在解决直线、圆等问题时可以巧设平行直线系方程、垂直直线系方程、相交直线系方程、圆系方程等。通过巧设方程，减少引入的未知量，达到简化运算的目的，提高解题速度。

点评：数形结合的过程，也是圆锥曲线对称性等性质体现的过程。巧妙合理地利用好这种解题思想方法，将大大降低计算量，真正做到“快”“准”“狠”。

七、巧设方程

八、巧设而不求

在一些解析几何问题求解中，比如解决有关对称和中点弦的问题需要引入的变量较多，但无需一一求解这些变量。如果所有涉及的变量都计算出来会显得冗余且效率低下。通过灵活掌握曲线方程的特点，采用整体换元、设而不求等技巧，方可减少运算量，简化解题过程，提高解题速度。

例7 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于两点M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△MBN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（ ）（如图4）

A.6x-5y-28=0

B.6x+5y-28=0

C.5x+6y-28=0

D.5x-6y-28=0

点评：若本例用常规方法，需设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之，这个计算量很大。上述解决方案中涉及A、B两个点坐标的四个参数，但求线l的方程是本题任务，只需得到它的斜率即可。故设而不求，只是在解题中让这些参数起到过渡性的桥梁作用。设而不求可以很好地减少本题的运算量。还有哪些常见的可利用设而不求方法的题型呢？例如，用公式求弦长，用即x1y1+x2y2=0来求解两线垂直问题时，常利用韦达定理来整体运算以达到减少运算量的目的。

九、巧引参数

直线、圆、圆锥曲线都有各自的参数方程，用好参数方程可以达到减元的目的。如果还能够利用好某些参数的几何意义则能更进一步减少运算量，比如直线标准参数方程的几何意义、极坐标系中ρ的几何意义等。

例8 在椭圆3x2+y2=12上求一点，使得它到直线l：x-y-5=0的距离最大，并求此距离。

解：椭圆3x2+y2=12可化为故可设椭圆上任意一点为则M到直线l的距离因此当此时，M（-1，3）。

点评：若按常规设M（x，y），利用点到直线的距离公式，较难得到解答，运算量大。而本例用椭圆的参数方程，巧设点坐标，将问题转化为三角问题求解，既可达到减元又可达到减少运算量的目的。涉及曲线上点坐标的问题，应采用巧引参数，这是求解与之有关的最值或取值范围等问题的重要方法。其好处是能使解决问题的思路更加清晰，使运算简单流畅，以便能巧妙地解决问题。

提升解析几何教学中的运算素养，降低运算量是关键。不同的题目也会用不同的策略来处理，比如，例8除了用本文的方法外，还可以构造柯西不等式来求解。此外，我们还常用巧用极坐标方程、巧用复数几何意义等策略来解决相关问题。我们只有在平时的练习中多实践，多总结，方能以简驭繁，事半功倍，使解题建构在高层次的思维层面上。总而言之，提升解析几何的数学运算素养可以从理解定义，夯实基础；掌握常见解几模型，获取运算经验；厘清运算方向，合理转化化归；巧用上述策略，提升运算速度；强化计算，突破运算难关等方面入手。数学计算能力的提高是一个渐进的、螺旋式的过程。教师要做好顶层设计，制定高层次的系统规划，让教学目标的每一步都能引导学生逐步提高数学运算素养。