用反证法证明费尔马大定理

摘要：笔者采用图例的方法，详细说明了用反证法证明费尔马大定理。

关键词：费尔马大定理；反证法；图例

费尔马大定理的内容是：当n>2时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解。

证明：用反证法

假设方程xn+yn=zn（n>2）存在正整数解，设x1、y1、z1是其一组正整数解，即得xn1+yn1=zn1

若（x1，y1，z1）=k，得（kx2）n+（ky2）n=（kz2）n（n>2）知x2、y2、z2亦是方程xn+yn=zn的一组正整数解，且（x2，y2，z2）=1。

另外，从方程xn+yn=zn直接可以看出x≠y。因为，当x=y时，得2xn=zn，当n>2时，无正整数解。由x2n+y2n=z2n得x2n22+y2n22=z2n22

知xn22、yn22、zn22为某直角三角形的三边2，关于直角三角形，看下面的事实。

设直角三角形的三边是a、b、c（c为斜边），

由勾股定理，得b2=c2-a2=（c-a）（c+a），知b是c-a、c+a的等比中项。

设c-a=Rbc-a=c+ab=qp

得c-a=Rb=qpRa+c=qp2R

解得a=q2-p22p2b=qpRc=q2+p22p2R

由于上式只反映直角三角形的三边关系，故将上式同时扩大常数倍2p2R

得a=q2-p2b=2pqc=q2+p2

即所谓三元数组，

再与三角函数中的万能替换公式对照比较

sinα=2t1+t2cosα=1-t21+t2

令t=pqq2+p2=1得sinα=2pq1+pq2=2pqcosα=1-qp21+qp2=q2-p2

比较得q=cosα2p=sinα2且α2<π4

再回到我们前面的问题，由xn222+yn222=zn222

得x2z2n22+y2z2n22=13

令cosα=x2z2n2sinα=y2z2n2得cos2α+sin2α=1可得

cos2α2-sin2α22+2sinα2cosα22=1

cosα2+sinα2cosα2-sinα22+

2sinα2cosα22=1

2cosπ4-α22sinπ4-α22+

2sinα2cosα22=1

2cosπ4-α2sinπ4-α22+2sinα2cosα22=1

構建一个正方形ABCD，如图

连接AC，作CE=1（E不为AB的中点），再作EF⊥AC于F，BG⊥AC于G。

设∠BCE=α2得BC=cosα2BE=sinα2

令BE=sinα2=xBC=1-x2

由几何知识，得CG=221-x2

GF=22BE=22x

BE·BC=x1-x22BE·BC=2x1-x2

2sinα2cosα22=2x1-x22=4x21-x2

CF·EF=CF·AF=（CG+GF）（CG-GF）=CG2-GF2=221-x22-22x2

=12（1-x2）-12x2=12（1-2x2）

在上面图形的基础上，再作BR⊥CE于R，FH⊥CE于H，得BR·CE=BE·BC。

BR·1=x1-x2FH·1=12（1-2x2）

如图找出CE的中点O，连接BO、OF，由几何知识，得△FOH≌△BOR。

将上述三角形的各条边扩大2倍后，得a=1-2x2b=2x1-x2c=1

这个图例对三元数组作出几何解释的同时，使另外两条直角边都转化成自变量是x的函数，简化了问题。

在上面的图形中，只需另设AF=xCF=1-x2BE·BC=121-2x2CF·EF=x1-x2这就说明a、b的位置可以互换，cosα、sinα的位置可以调换。

设y1=a2=（1-2x2）2y2=b2=（2x1-x2）2=4x2（1-x2）

依照上面的推理cos2α+sin2α=1调换其次序，得sin2α+cos2α=1

根据定理本身也可说明这一点，如果x2、y2、z2是方程的一组解，那么y2、x2、z2也是方程的一组解。根据定理的要求，cosα=un2sinα=vn2（u，v∈θ+）

在单位圆上，作出Rt△ACB，设∠A=α，并作相应的Rt△AC′B′，画出曲线y=xn2。

若点B（cosα，sinα）在曲线y=xn2上，很明显，B′（sinα，cosα）不在曲线y=xn2上。要得到cosθ=xn2的形式，此时的横坐标是AD，而不是C′B′=sinθ。这就说明若横坐标是AC=cosα，纵坐标sinα可以写成y=xn2的形式，横坐标是C′B′=sinα，cosα不能写成y=xn2的形式，若要写成y=xn2的形式，横坐标应变为AD。

根据前面推得cos2α=（1-2x2）2

sin2α=（2x1-x2）2=4x2（1-x2）

可以理解为，在相同的x下，

cos2α=（1-2x2）2=unsin2α=（2α1-x2）2=vn

现在设y1=（1-2x2）2y2=（2x1-x2）2=4x2（1-x2）

在同一坐标系下，作出它们的图像，如图

在相同的x下，y=un与y2、y1的交点为P、Q，若P在曲线y=un上，点Q不在曲线上，要使点Q在曲线y=un上，需改变（1-2x2），进而改变其中的x，也就改变了上面的三元数组。说明，在不同的x下，cos2α=（1-2x2）2=unsin2α=（2x1-x2）2=vn

与上面相同的x下，cos2α=（1-2x2）2=unsin2α=（2x1-x2）2=vn相矛盾：

因此，假设不能成立。

对于y1、y2交点R的情况，得α=π4，与前面得出的x≠y相矛盾。因此，在相同的x下，得不到un+vn=1，也就无法得到xn2+yn2=zn2（n>2），也就证明了定理。

参考文献：

[1]（美国）辛格著.费尔马大定理，薛密译.一个困惑了智者358年的迷[M].北京：中国社会科学出版社，2007.

[2]（俄罗斯）杜布洛文，（俄罗斯）诺维可夫，（俄罗斯）福明柯著，许明译.现代几何学：方法与应用[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]Kenneth H.Rosen著，夏鸿刚.初等数论及其应用[M].北京：机械工业出版社，2005.

作者简介：

赵锁堂，内蒙古自治区呼和浩特市，托克托县第二中学。