关于全概率公式和贝叶斯公式教学方法的探讨

宋明珠 方连娣

（铜陵学院，安徽 铜陵 244000）

全概率公式和贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程两个重要的公式，也是教学重难点之一。这两个公式在经济决策、产品检验和传染病诊断等方面有着广泛的应用。在日常教学过程中发现，如果开门见山给出这两个公式，学生会困惑不解，进而失去学习兴趣，更别说用这两个公式解决实际问题了。为此，本文通过解决日常生活的概率问题，在解决问题的过程中导入全概率公式和贝叶斯公式，将复杂的问题简单化。在解题的过程中，充分发挥学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，进而提高教学效果。

一、全概率公式的导入

从学生感兴趣的实际问题出发，导入全概率公式。

引例1：设袋中有5个红色的玻璃球和5个蓝色的玻璃球，玻璃球的形状大小完全相同，从袋中任取3个玻璃球放入盒中，现从盒中任取一球，求该玻璃球是红色的概率？

分析：完成试验，必须分两步，第一步从袋中取3个球，第二步是在第一步的3个球中任取一球，第二步能否取到红球，受第一步结果的影响。为此我们设事件B={在盒中取一球是红色的}，事件Ai={从袋中取出3个球，放入盒中，其中有i个球是红色的},i=0,1,2,3。事件B发生的概率受第一步试验结果的影响，为此我们把复杂的事件B化简成几个互不相容简单事件的和。 因为所以 A0，A1，A2，A3是样本空间Ω的一个完备事件组。

解：由题意可知：

根据互不相容事件的可加性和条件概率公式得：

引例 2：某小组有20名选手，其中一、二、三、四级选手分别为 3、4、9、4名。 若选一、二、三、四级选手参加比赛，则在比赛中获胜的概率分别为0.9、0.6、0.4、0.3，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中获胜的概率是多少？

分析:设事件B={小组在比赛中获胜},事件Ai={该选手来自 i级}，i=1,2,3,4。

解：

在解决上述两个问题的过程中，我们发现一个共同特点：先找出样本空间的一个完备事件组Ai，i=1,2,…,n,将复杂事件B分割成几个互不相容简单事件的和，利用条件概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)＞0)计算出条件概率，再利用互不相容事件的可加性，计算出简单事件的概率和，从而得出事件B的概率。总结解题过程，导入全概率公式：

全概率公式[3]：设A1,A2,…,An为试验E样本空间Ω的一个完备事件组P(Ai)＞0,i=1,2,…,n。B是任意事件，则(Ai)P(B|Ai)。

证：由集合的运算性质可知

因为 P(Ai)＞0，i=1,2,…,n 且(BAi)(BAj)= ，i≠j则由互不相容事件的可加性和条件概率公式得：

全概率公式的内涵：全概率公式的“全”是指在解题的过程中找出引起B事件发生的全部“原因”Ai,A2,…,An，这些“原因”构成样本空间的一个完备事件组。因此，我们在计算P(B)时，首先找出样本空间的一个完备事件组Ai,A2,…,An，再利用全概率公式计算出P(B)。

二、贝叶斯公式的导入

由同学们熟知的经典诚信故事 “狼来了”引入贝叶斯公式，激发学生的学习兴趣。

引例 3 （“狼来了”）设农民开始对这个孩子的可信度为0.9，可信的孩子说谎的概率为0.2，不可信孩子说谎的概率为0.8，试求这个孩子第三次喊“狼来了！”时，农民对这个孩子的可信度是多少？

解:设事件B={孩子可信}，事件A={孩子说谎}，由题意知P(B)=0.9，P(A|B)=0.2。农民第一次听到“狼来了！”赶到山上后，发现小孩说了谎，此时农民对孩子的可信度为：

农民第二次听到“狼来了！”赶到山上后，发现小孩再一次说谎，此时农民对孩子的可信度为：

由上述推算过程可知，小孩第二次说谎后，其可信度由原来的0.9下降到0.36，如此低的可信度，导致他第三次喊“狼来了！”的时候，再也没有人去救他了。

引例4（产品检验）每箱产品有10件，其中的次品数从0到2是等可能的，开箱试验时，从中一次抽取2件（不重复），如果发现有次品，则拒收该箱产品，试计算：

（1）一箱产品通过验收的概率；（2）已知该箱产品通过验收，则该箱中有2个次品的概率。解：设 Ai={箱内有 i件次品}，i=0，1，2，显然 A0,A1,A2是样本空间的一个完备事件组，

B={该箱产品通过验收}。由题意可知

（1）由全概率公式，有

（2）由条件概率公式知

对引例3、4的解题过程归纳总结，得出贝叶斯公式如下：

贝叶斯公式[3]：设A1,A2,…An为试验E样本空间Ω的一个完备事件组，且 P（Ai)＞0，i=1,2,…，n，则对任一事件 B，(P(B))＞0,有

贝叶斯公式的内涵：已知B事件已经发生，导致B事件发生的 “原因”共有n个，这n个“原因”构成了样本空间的一个完备事件组。根据贝叶斯公式计算出，导致B事件发生的原因可能性有多大。简而言之，贝叶斯公式就是“由果索因”。