基于决策者无差异偏好的变动靶心广义灰靶决策方法

马金山

（河南理工大学 能源科学与工程学院，河南 焦作 454000）

0 引言

灰靶决策方法仅仅依靠决策方案间的比较由各指标属性的最优值确定靶心，并计算各决策方案到靶心的距离，以靶心距越小方案越优[1]。当前多属性灰靶决策方法的应用比较广泛，众多学者基于多属性灰靶决策方法做了诸多的改进。这些改进有的是权重方面的[2-4]，有的是数据类型方面的[4-9]，有的是群决策方面的[10,11]，有的则是引入了其他的理论和方法[12-14]。文献[8,15]则提出了不同于传统灰靶决策的广义灰靶决策方法，其中文献[15]以广义灰靶决策方法为基础研究了在多属性灰靶决策中存在着决策者的理想偏好和选择偏好的情况下，决策方案的结果受变动靶心产生的靶心距的影响情况，并据此得出了一些有意义的结论。而文献[16]在此基础上又引入了负靶心的情况，进一步深化了研究的结果。但前述研究在分析决策者的偏好所确定的靶心时，未考虑决策属性存在适中值的情况。而在实际的多属性决策时也经常存在着适中值属性的情况。为此，本文研究广义灰靶决策方法中存在着适中值属性时决策者的无差异偏好对决策方案的影响。

1 方案设计

1.1 基本概念

定义1：设有多属性决策问题，决策方案集为S=(S1，S2，…，Sn)，属性集为 A=(A1，A2，…，Am)，方案 Si对属性 Aj的效果测度为 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)，其中设效益型指标属性的集合为J+，成本型指标属性的集合为J-,适中值型指标属性的集合为JM。

定义2：基于灰靶决策的基本思想，但具体的实施过程与传统方法有所不同的灰靶决策方法称为广义灰靶决策方法。广义灰靶决策方法与传统灰靶决策方法相比表现在两个方面：一是不需要首先对效果测度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)进行极性的变换及归一化处理；二是靶心距的计算方法也有别于传统的灰靶决策方法[8,15]。

定义3：称由决策方案各效果测度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)所确定的靶心为Ca=(，…，)，其中(j=1，2，…，m)满足：

其中Saj为由客观标准或决策方案的特征所决定的适中值型指标属性靶心值。

定义4：决策者希望某一适中值属性A(A ∈JM)指标

jj在其附近变动一定的范围内为不受影响的偏好，称为适中值属性的无差异偏好域，记为，即有：

即适中值偏好由一个确定的实数拓展为在一定范围内变动的区间，在该区间内均认为所有指标值无差异，其中rj为上下变动的范围值，和分别为下限值和上限值。

定义5：设由决策方案各效果测度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)所确定的靶心为 Ca=(C…，，决策者对属性Ak(k ∈{1 ，2，…，m} ) 的偏好值为(k∈{1，2，…，m})，则融入决策者偏好的靶心（域）为C0=(，…，)，其中(k=1，2，…，m)满足下式：

1.2 靶心距的计算[15]

设决策方案效果测度 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)融入决策者属性偏好的灰靶靶心（域）已经确定为，则采取如下步骤求解靶心距：

（1）针对属性 Aj( j =1，2，…，m )下的各方案指标值Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)分别与单指标靶心（域）(j=1，2，…，m )进行比较，则可以得到比较后的新的指标测度Iij：

（2）分别计算属性Aj( j =1，2，…，m )下的经过预处理的各方案指标值Iij(i = 1，2，…，n，j=1，2，…，m) 与靶心（域）( j =1，2，…，m) 的单指标靶心距。

（3）由于各个属性下所求的单指标靶心距rij不具有可比性，因此这里必须在各个属性Aj下分别对靶心距进行归一化处理，使之具有可比性。归一化采用线性的方式，能够较好地保持各自的特征。

（4）若已知各属性 Aj( j =1，2，…，m )的指标权重为ωj，则综合靶心距由下式求出。

1.3 决策步骤

（1）确定决策者的属性偏好；

（2）计算各方案指标为非一致规范化的初始靶心；

（3）结合决策者的属性偏好，求得融合了决策者属性偏好的单指标靶心（域）；

（4）结合各单指标靶心（域）对原决策指标值（或效果测度）进行预处理；

（5）计算预处理后的各决策方案指标值与靶心（域）的单指标靶心距；

（6）确定各属性的指标权重；

（7）综合各归一化单指标的靶心距，并依据综合靶心距由小到大的顺序进行决策。

2 基于适中值属性的规范化对决策方案的影响

2.1 参数设定

图1是针对决策方案指标属性存在着适中值，而靶心由决策者的无差异属性偏好所决定的情况。图1中为由决策方案或客观标准所确定的属性为适中值的单指标靶心指标，而和分别为决策者无差异偏好所决定的靶心指标域的下限和上限。d1、d2、d3分别是不同方案下各指标S1j、S2j、S3j到靶心Cja的靶心距，而 D1、D2、D3分别是不同方案下各指标S1j、S2j、S3j到决策者无差异偏好靶心域界限或的靶心距，rda是与或之间的距离。显然由于决策者无差异偏好靶心域缩小了各指标与靶心的距离，使得各指标针对决策者无差异偏好的靶心距变小。

图1 决策者无差异属性偏好对决策方案的影响

下面来分析说明决策者无差异的属性偏好所决定的靶心域对决策方案的影响。设在属性Aj下方案Si的效果测度为 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)，其中两个方案的指标值Si0j和S(i0+1)j与由决策方案所确定的单一属性靶心的靶心距为di0和di0+1，不妨设di0＜di0+1。在属性Aj下，由决策者属性偏好所确定的单指标靶心域界限值为或，则 Si0j和 S(i0+1)j到或的靶心距为Di0和Di0+1。决策者无差异偏好靶心域界限或和决策方案样本值靶心之间的距离为rda。

式（8）和式（9）di中和 Di分别代表一般意义上引入决策者无差异偏好靶心域前后的各方案单指标的靶心距。

2.2 基于适中值属性的决策者无差异偏好对决策方案的影响

2.2.1 决策方案指标值均在无差异偏好靶心域的范围之外

设 Si0j和 S(i0+1)j均在的同侧（二者在不同侧的分析结果是相同的）。则由式（9）可得：

由式（8）和式（9）的对比可知：

当rda=0时，ΔZa=ΔZd，即不存在无差异偏好的区间。

当rda＞0时，ΔZa＜ΔZd，即决策者无差异属性偏好所决定的靶心域使得方案指标间的差异变大。

2.2.2 决策方案指标值均在无差异属性偏好靶心域的范围之内

若Si0j和S(i0+1)j在引入决策者的无差异偏好时均处Di0+1=0。则可得：

由公式（11）和式（12）可知 ΔZd＜ΔZa，即当决策方案指标均落入决策者的无差异偏好区间时，决策方案指标之间的差异变小。

2.2.3 决策方案指标值部分落入决策者的无差异偏好区间

若Si0j和S(i0+1)j在引入决策者的无差异偏好后，一个落入区间[，]之内，另一个落在该区间之外，此处设S(i0+1)j始终落在区间[，]之外，而引入决策者的无差异偏好后，Si0j落入区间[，]之内。

未引入决策者无差异的偏好之前的决策方案指标的靶心距之差见公式（8）所示。而引入决策者无差异偏好的靶心域后，可得公式（13）。

由于引入决策者的无差异偏好靶心域后，Si0j落入区间[，]之内，所以可得Di0=0。因此，由公式（13）可以得到：

此时应讨论di0与rda之间的关系。

（1）当 di0=rda时，由公式（8）与公式（14）可得 ΔZa＜ΔZd，即Si0j刚好位于决策值偏好的无差异偏好区间的边界，此时使得方案指标间的差异变大。

（2）当 di0＜rda时，则由式（8）与式（14）很难准确地判断ΔZa与ΔZd之间的关系。其不定性表现为：

2.2.4 决策者无差异偏好所决定的靶心域对决策方案的影响

（1）适中值属性引入决策者的无差异偏好靶心域后，如决策方案指标均落入无差异偏好的区间后，则方案指标间的差异变小。

（2）适中值属性引入决策者的无差异偏好靶心域后，若决策指标均未落入区间内，或仅某一指标值恰好处于无差异偏好区间的边界处时，方案指标间的差异变大。

（3）适中值属性引入决策者的无差异偏好靶心域后，若某一指标落入无差异区间内，而另一指标则落入无差异区间外时，如无更详细的信息，则无法判断其指标之间的影响。

3 算例分析

3.1 数据来源

某业主从满足其基本需求的承建商中选择最合适的方案，分别从主要设备费（万元）、工期（天）、单层建筑面积（m2）以及层高（m）等方面进行综合评比，以A1～A4表示。其中主要设备费及层高为适中值指标，工期为成本型指标，而单层建筑面积为效益型指标。共有5个方案可供选择，用S1～S5表示。若业主认为比较合适的主要设备费为180万元，费用范围变动10%以内为无差异；而比较合适的建筑的层高为3.0m，变动范围在5%以内为无差异；若业主偏好的最短工期为250天，则对这些承建商做出选择评比（见表1）。

表1 承建商建筑方案表

3.2 计算过程及结果

（1）首先计算由决策方案所确定的靶心

根据已有的广义灰靶决策方法的靶心确定方法，可以得到由决策方案自身或客观标准所确定的靶心为（180，260，1200,3.0）。

（2）确定融入决策者偏好的靶心（域）

结合决策者属性偏好依据相应的方法，可以得到融入决策者偏好的靶心（域）为（[162,198]，250，1200,[2.85,3.15]）。

（3）基于决策者偏好所确定的靶心（域）对原始指标数据进行处理。

原始方案的指标数据结合决策者的偏好处理后，见表2所示。

表2 处理后的指标值

（4）计算所有指标的靶心距

根据最终确定的融入决策者偏好的靶心（域），可以计算出所有指标与融入决策者偏好的各单指标靶心距见表3所示。

表3 各单指标的靶心距

（5）各单指标靶心距的无量纲化处理

若给定的各决策方案指标属性的权重为（0.2,0.3,0.4,0.1)，则各方案的归一化综合靶心距为（0.1871，0.2445，0.1660，0.1798，0.2226）。所以各方案的排序为：S3≻ S4≻ S1≻ S5≻ S2。见表4和表5。

表4 线性规范化后的靶心距

表5 线性规范化后的靶心距

3.3 对比分析

为了说明决策者的偏好对决策方案的影响，采用无决策者的偏好时的靶心所求得的综合靶心距来进行对比。此处各方案指标属性的权重仍为（0.2,0.3,0.4,0.1)。决策方案自身所确定的靶心为（180，260，1200,3.0）。则各综合集成的归一化靶心距为（0.1489，0.2693，0.1629，0.1770，0.2419）。则可以得到各方案的排序为：S1≻S3≻S4≻S5≻S2。表5是决策方案是否考虑决策者偏好的靶心时的综合靶心距及其方案排序的对比情况。

由表5的对比情况可知，有无决策者的偏好所决定的靶心对决策方案的排序有着明显的影响。

4 结论

通过对决策方案存在着决策者无差异属性偏好的变动靶心广义灰靶决策方法的研究，可以得到如下结论：

（1）在广义灰靶决策中，决策者的无差异属性偏好所决定的适中值属性靶心域依据指标值的不同对决策方案产生不同的影响。

（2）本文考虑的适中值属性的决策者的无差异偏好的靶心域为对称性的，而实际的决策过程中也可能存在着非对称性的无差异偏好区间，其影响的程度更为复杂。

（3）由于研究中所涉及的决策者的无差异偏好仅为部分指标属性，且综合靶心距的集成受多种因素影响，所以综合后对总体的各方案的影响变化存在着不确定性。