深度学习下的“概念课教学”—以“一元二次方程”一课的教学为例

河北省井陉县教师进修学校 梁彦军

深度学习是一种基于理解的学习，它强调学习者批判性地学习新思想和知识，把它们纳入原有的认知结构中，将已有的知识迁移到新的情境中，从而帮助决策、解决问题。

深度学习鼓励学习者积极地探索、反思和创造，而不是反复记忆，深度学习意味着理解和批判、联系与构建、比较与反思、迁移与应用。

在初中数学教学中，概念课教学是个重点。学生在学习的过程中，对教材出现的新概念 ，不可能是“无根之木”。因此，只有准确把握学生的学习起点，引导学生在原有认知起点上对新的概念进行同化与迁移才是有效的。基于自己多年的理解，现以“一元二次方程”这一节课为切入点进行解读。

一、设计理念

“一元二次方程”是人教版九年级一节重要的概念课，它在初中数学中占有重要地位。从知识的发展来看，它是一元一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、二次函数等知识的基础。

学生之前已经学习了一元一次方程、整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础，这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。

因此本节课的设计是引导学生通过丰富的实例和数学活动思考，实现对“一元二次方程”这一数学概念的自主化“生长”，引导学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，感受一元二次方程在本章所具有的重要地位。

二、教学过程设计

1.建立概念

第一步：创设问题情境

问题一：学校打算在校门口摆一个长8m，宽5m的矩形花坛，中央长方形图案的面积为18m2，四周摆放红色鲜花的花边宽度相同，那么花边有多宽？

教师：设花边的宽x m，根据题意，请你列出方程。

问题二：国庆期间，学校要组织 “庆国庆篮球联赛”，安排了单循环比赛15场，你知道共有多少班级报名参加此项比赛吗？

教师：设报名参加比赛的班级为x个，根据题意，请你列出方程。

问题三：小明正在张贴国庆宣传画，一个长为3米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离是2.4米，若梯子顶端下滑0.4米，那么梯子的底端滑动多少米？

教师：设梯子的底端滑动x米，根据题意，请你列出方程。

（设计意图：通过一系列实例把实际问题抽象成数学模型——方程）

第二步：分化各个刺激模式的共同属性，抽象各个刺激模式的本质属性

教师板书：

教师：将以上三个方程进行化简，并按x的降幂排列。（2x2-13x+11=0，x2-x-30=0，x2+3.6x-1.76=0）

问题：观察这些方程，它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？是分式方程吗？请说明理由。

追问：它们在形式上有何共同点？

学生通过观察思考小组交流后说出自己的观点。

第三步：对比是与非，确认关键属性

判断下面几个方程是否为一元二次方程，并说明理由。

（1）2x-1=0 （4）2x2+x=0

（2）x-2y=0 （5）2x2-1=0

（3）x2-x+5=0 （6）2x2=0

（1）（2）都不是，利用反例确认概念的三个关键属性；（3）是，同时具有三个关键属性。（4）（5）（6）通过变换概念的非本质特征而突出其本质特征。

（深度学习是理解性的学习，在批判的基础上理解知识）

第四步：归纳概括，生成新概念

教师：你能尝试用自己的语言给一元二次方程下个定义吗？（用“如果……，那么…… ”的形式）

学生用语言描述出一元二次方程的定义。

第五步 用数学语言和符号表示概念

（学生说，教师板书）如果方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么我们把它叫作一元二次方程。

教师：一元二次方程的定义中哪些是本质属性？

学生回答：只含有一个未知数、整式方程、可化为ax2+bx+c=0（a≠0）。

教师：把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。

2.变式训练

练习1：把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）3x2=5x-1 （2）（x+2）（x-1）=6 （3）4-7x2=0

练习 2：关于x的方程（m2-1）x2+（m -1）x -2=0。（1）当m满足什么条件时，是一元二次方程？（2）当 m满足什么条件时，是一元一次方程？

（深度学习意味着能结合已有的知识经验，经过同化或顺应，理解概念，并在此基础上，将该知识纳入原有知识结构中）

练习 3：请同学们将下列方程合理进行分类。方程、整式方程、分式方程、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程。

学生小组合作，让学生用不同形式展示（集合、方框、大括号等）。

（建立前后概念有意义的联系，在头脑中形成清晰正确的概念网络。深度学习关注知识之间的联系，是在联系的基础上建构体系）

3.问题解决

（1）从前有个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少，刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？列出方程，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）观察等式：102+112+122=132+142。有什么特点？你还能找到符合这一特征的等式吗？请说明你的解题思路。

（深度学习是在内化的基础上迁移运用，最终目标是运用已有知识解决新情境中的问题）

4.回顾反思

（1）通过本节课的学习，在知识上你有哪些收获？

（2）在研究这些问题时，我们经历了怎样的过程 ？

（3）本节课的学习经历，对你以后的数学学习有哪些启示 ？

5.对数学概念课教学的思考

“归纳”与“演绎”相结合，进行数学概念的教学。

概念形成—让学生通过自己的实践，抽象出事物的共同本质特征。（合情推理）

概念同化—让学生接受已有的概念。（演绎推理）

三、教学反思

课堂教学中“用归纳的方法建立概念，用演绎的方法印证并拓展概念”，旨在展现一个由“概念形成”与“概念同化”组成的有序的数学概念研究过程，让学生感悟一般的数学概念的建立过程。

深度学习是过程性的学习，是在过程的基础上体验感悟。对概念、原理的理解一定是基于其形成过程，在经历知识发生发展的过程中感悟知识的本质内涵以及所蕴含的数学思想。