真北定向测量方法及其对比分析

门茂林，王智，薛慧艳，李勇，张洪德

(青岛市勘察测绘研究院，山东 青岛 266032)

1 引 言

测绘过程中遇到的北方向主要有三种，即坐标北、磁北以及真北，坐标北是地图上纵向方格线指示的上方，即为测绘行业中X轴方向，可通过两个点的高斯平面坐标进行反算得到坐标北方向，坐标北与真北的夹角为子午线收敛角，越靠近中央子午线，坐标北与真北方向越接近[1]；磁北是指南针所指示的北方向，并随着时间的变化而变化，磁北与真北的夹角为磁偏角，根据最新的国际地磁场参考模型，我国除了新疆、西藏等地磁偏角为东偏，其余地方均为西偏；真北指的是地球的北极，即北纬90°或经圈交汇的地方，通过地球表面某点的真子午线的切线方向即为该点的真子午线方向，真子午线方向指向北极的方向称作真北方向[2]，三北关系示意图如图1所示。

图1 坐标北、磁北与真北关系图

在某些工程领域需要定出真北方向，如机场和一些军事设施的建设。在实际操作中，测定真北方向主要有两种方法：一种是使用陀螺仪在基准点进行寻北测量，再进行仪器常数改正定出真北方向；另一种先定出基准点的坐标北方向，再计算子午线收敛角，从而定出真北方向。本文对这两种方法做了对比分析，得出了一些有益的结论。

2 数学模型及实施

2.1 陀螺全站仪寻北定向测量

机械式陀螺仪是利用刚性物体在旋转时尽量保持其旋转轴和速度这一特性进行测量或控制方位，它由两个可旋转的框架和安装在其上的转子构成。转子在高速旋转时有着很高的转动惯量。由于安装了两个可旋转的框架，这样使得旋转轴可进行二维转动，如果忽略地球的自转，陀螺仪转动时其转轴会一直保持最初的空间姿态。当重力作用于转轴并让其保持水平时，地球的旋转将对陀螺仪的转轴产生一个扭矩。该扭矩作用于转轴时，转轴将会围绕合力的垂直分力产生进动[3]。机械式陀螺仪就是利用稳定性和进动性找出真北方位。

陀螺全站仪是可以独立测定真北方向的精密测量仪器，其基本的工作原理是利用最新的图像处理技术进行读数，随后高精度马达把仪器精确地转到真北方向。如图2所示是悬挂式陀螺仪结构组成图。

图2 悬挂式陀螺仪结构组成图

利用陀螺仪进行寻北测量时，首先要在已知边ab上标定仪器常数cg。

cg=Tab+γa-Aab

(1)

式中，Tab为已知边的坐标方位角，γa为已知边起点的子午线收敛角，Aab为陀螺仪测出已知边的真北方位角。

然后在待定基准点M上进行陀螺寻北测量，具体寻北方法依据不同型号的陀螺仪进行选择，如索佳GYRO悬挂式陀螺仪主要采用逆转点法或中天法进行寻北测量，经两次寻北定向精度优于15″。基准点寻北结束后，使用全站仪在定出的北方向上对之前测出的仪器常数进行改正：

A=AM+cg

(2)

通常情况下，仪器常数为几十秒，改正后锁紧仪器水平制动旋钮或进行置零等操作，此时陀螺仪指示方向即为真北方向。在基准点的真北方向上的适当距离(如 100 m)处，使用木桩、铁钉等工具进行实地标识，若对真北定向有较高精度要求，标志真北方向的距离应拉长，并采用盘左盘右取平均值，标志点应为清晰细小的十字丝或圆点等标记[4]。

2.2 坐标北加子午线收敛角改正定真北

子午线收敛角是地球椭球体面上一点的真子午线与位于此点所在投影带中央子午线之间的夹角。即在高斯平面上的真子午线与坐标纵线的夹角，坐标纵线东偏为正，西偏为负。在投影带的中央经线以东图幅均为东偏，以西的图幅均为西偏。对于不同的测站点，子午线收敛角具有不同的值。测站点与中央子午线的经差越大，纬度越高，子午线收敛角越大。

子午线收敛角可以用大地坐标计算，也可利用平面坐标计算，其计算公式分别如下[5]：

(3)

(4)

实际工程应用中，常用查表法或下列简易公式进行计算：

γ=△λ·sinφ

(5)

式中，△λ为计算点与中央子午线之间的经度差，φ为计算点所在的纬度。实际计算表明，该简易公式的计算误差，随着纬度φ的减小而增大，随着经度差△λ的增大而增大[6]。

实际工程应用中，使用坐标方位角加子午线收敛角改正定真北可按如下方法进行：

(1)使用GNSS接收机通过采用当地的CORS系统等手段多测回测定待定基准点M的平面坐标(xM，yM)，在M点的大致北方向且距点M足够远的点N使用同样方法测量该点的平面坐标(xN，yN)。

(2)计算MN的坐标方位角TMN：

(6)

(3)根据查表法或者式(5)计算点M的子午线收敛角γM。

(4)在点M架设全站仪，精密对中整平后，后视点N并置零，然后水平读盘拨动角度TMN+γM，该方向即为真北方向，并通过前文所述方法在实地进行标识。

3 精度分析

3.1 陀螺仪定北精度分析

通过前文所述，利用陀螺全站仪进行真北定向的误差来源主要包括：

(1)陀螺全站仪自身寻北定向精度m陀螺

陀螺仪由于价格昂贵，作业时间长，且对作业环境要求高，目前仍未普及使用，目前陀螺仪寻北精度最高可达3″，常见的陀螺仪寻北精度一般为5″～20″。

(2)陀螺仪常数测定精度

根据上文式(1)，该项误差源具体包括已知边的坐标方位角精度mT、已知边起算点的子午线收敛角精度mγ以及在已知边的陀螺仪定向精度m陀螺。其中已知边坐标方位角的精度取决于已知边两个点的坐标精度及边长的长度，若在两个相距较远的高精度控制点进行仪器常数测定，则已知边的坐标方位角误差mT可忽略不计；已知边起算点的子午线收敛角可通过式(5)或者查表法求得，其精度也取决于已知边基准点坐标的精度；已知边的陀螺仪定向精度m陀螺同陀螺仪自身寻北定向精度。

(3)定出真北方向后的实地标定精度m标定

该项精度主要与全站仪测角精度以及实地标定与基准点的距离有关，目前1″及0.5″级的全站仪已普遍使用，因此其对真北定向精度的影响远小于陀螺仪本身寻北精度的影响，实地标定与基准点距离越远，标定标志越精细，标定精度越高。

根据上文分析及误差传播定律，采用陀螺仪进行真北定向的精度为：

(7)

假若采用的陀螺仪的寻北精度为10″，在相距较远的两个高精度控制点上mT和mγ均可忽略不计，若标定时采用1″级全站仪，并顾及标定距离及标记标志精度的影响，m标定以2″计，则根据式(7)，采用陀螺仪进行真北定向的精度为14.3″。

3.2 坐标北改正子午线收敛角定北精度分析

利用坐标北加子午线收敛角改正进行真北定向的误差源主要包括利用边MN的坐标方位角精度mT-MN以及基准点mT-MN处子午线收敛角精度，与陀螺仪在已知边测定仪器常数不同，该方法中的M和N需要用仪器测定，而不是已知高等级控制点。

在周边无控制点可利用的情况下，宜采用GNSS接收机利用CORS进行坐标测定，以青岛CORS平面精度 1 cm为例计算，距离 300 m处的两点坐标方位角误差为：

(8)

考虑到地球平均曲率半径上，1″对应的实地距离约为 40 m，坐标 1 cm的误差对应的经纬度误差不到0.0003″，根据式(5)基准点子午线的误差可忽略不计。估计实地标定精度，该方法最终误差不到10″。因此，坐标北改正子午线收敛角定北的精度主要取决于现场实地基准点M和大致北方向点N的坐标方位角精度，点M与点N间距离越长，该精度越高。

综上所述，两种真北定向方法中，坐标北改正子午线收敛角进行定北的误差来源更少，且实地操作更简单，实际情况下采用该方法精度也更高，采用陀螺仪进行定北需要在实地花更长的时间，通常需要至少半天的时间，且高精度陀螺仪价格昂贵，在国内并未普及使用。

4 结 论

(1)进行真北定向常用的方法主要有两种，一种是采用陀螺仪进行真北定向，另一种是对坐标北改正子午线收敛角进行真北定向，根据目前陀螺仪及全站仪的精度及实际操作情况，采用坐标北改正子午线收敛角的方法误差源更少、实地真北标定操作更简单，精度也更高。

(2)采用陀螺仪进行真北定向的精度主要与陀螺仪自身寻北精度和仪器常数测定精度有关，目前机械式陀螺仪寻北精度大多在5″～20″，既要在已知边上测定仪器常数，又要在待测边上寻北定向，外业作业时间长，且稳定的高精度陀螺仪价格昂贵，鲜有单位使用；仪器常数测定精度取决于已知控制边的精度，控制点绝对坐标精度越高，点位之间距离越长，仪器常数测定精度越高。

(3)采用坐标北改正子午线收敛角进行真北定向的误差来源主要有利用边的坐标方位角精度以及待测基准点处子午线收敛角精度，两项误差均与坐标测定的精度有关，坐标可利用周围已有高精度控制点或者采用CORS等方法测定，利用边的距离越长，真北标定精度越高。