箱形梁剪力滞和剪切效应引起的附加挠度分析

张玉元， 张元海， 张 慧， 马 瑛

（兰州交通大学 土木工程学院，兰州730070）

收稿日期：2017－06－09；修改稿收到日期：2017－09－18．基金项目：国家自然科学基金（51468032；51268029；51508255）资助项目．

作者简介：张元海＊（1965－），男，博士，教授，博士生导师（E－mail：zyh17012＠163．com）．

1 引 言

薄壁箱梁发生竖向挠曲变形时，由腹板传递给翼缘板的剪力流使翼缘板在远离腹板处的纵向位移滞后于靠近腹板处的纵向位移，从而使箱梁翼缘板不满足平截面假设而发生翘曲，这就是剪力滞效应［1，2］。在薄壁箱梁的设计和计算中，必须考虑剪力滞效应［3－5］。对于是否考虑腹板剪切变形对混凝土箱梁竖向挠度的影响，一般是以高跨比的1／5作为分界［6］。由于实际箱梁的腹板越来越薄，随着剪应力的增大，腹板剪切变形产生的挠度也逐渐增大，其值并非传统理论认为可以忽略不计。因此有必要进一步研究腹板剪切变形对竖向挠曲的影响。

文献［7－10］应用能量变分原理建立了箱梁剪力滞和剪切效应分析理论，各翼板选取同一最大剪切转角差为广义位移；文献［11，12］对各翼板选取不同的最大剪切转角差为广义位移，建立箱梁剪力滞和剪切效应分析理论。从计算精度上讲，各翼板选取不同最大剪切转角差比取相同最大剪切转角差更精确，但最大剪切转角差物理意义不明确，不便于工程人员理解和应用。文献［1，3，5，13］采用附加挠度为广义位移，能够解决研究剪力滞效应中变量物理意义不明确和不便于工程人员使用等问题。文献［14］从等效刚度原则入手，分析变截面箱梁的剪力滞和剪切效应，这种近似等效的计算方法较为粗略，不能准确反映双重效应下箱梁的竖向挠曲变形。此外，现有诸多文献在求解双重效应时将初等梁理论、剪力滞翘曲理论和剪切变形理论进行综合分析，既不能明确反映剪力滞效应和剪切变形分别对箱形梁挠度的影响程度，也不便于设计人员应用。

本文在全截面上引入剪力滞翘曲修正系数的基础上，重新定义了剪力滞翘曲位移模式。应用能量变分法建立箱梁剪力滞和剪切效应的控制微分方程，导出均布荷载作用时简支箱梁和两跨连续箱梁的剪力滞和剪切附加挠度的解析解。结合简支箱梁和两跨连续箱梁算例，研究剪切变形挠度和剪力滞挠度在初等梁挠度中所占的比例及其分布规律，为实际设计提供参考。

2 分析模型

考虑箱形梁腹板的铁摩辛柯剪切变形时［15］，箱梁在竖向对称荷载作用下的纵向位移可分解为满足平截面假定的纵向位移及剪力滞翘曲纵向位移，如图1所示。图1给出了箱梁弯曲变形时的剪力滞翘曲位移模式，假设坐标原点位于截面形心处，腹板变形服从平截面假定，上下翼板在各自的平面内纵向翘曲，腹板与顶底板交汇处满足位移协调关系。η为全截面上引入的翘曲修正系数。

箱梁截面如图2所示，箱梁在竖向任意荷载q（z）作用下发生挠曲变形，选取剪力滞效应引起的附加挠度为广义位移，则箱梁截面任一点处的纵向位移u（x，y，z）可表达为

图2中，2b1，2b2和b3分别为顶板、底板和悬臂板的宽度，tu和tb分别为上下翼板的厚度，tw和θ分别为腹板的厚度和俯角，hu为形心至顶板中面的距离，hb为形心至底板中面的距离，h为顶底板中面之间的距离。计算悬臂板翘曲位移时采用局部坐标系，将坐标系原点移至悬臂板右侧端部。根据图1所示的各板剪力滞翘曲位移模式，定义各板的翘曲位移函数，则顶板、底板和悬臂板的剪力滞翘曲位移函数ωζ（x，y）可表达为

图1 剪力滞翘曲位移模式Fig．1 Shear lag warping displacement mode

图2 箱形截面Fig．2 Cross section of box girder

式中 β＝（b2·hb）／（b1·hu），α＝b3／b1。

将式（2）代入剪力滞翘曲位移表达式，即可得到顶板、底板和悬臂板的剪力滞翘曲位移：

计算腹板的剪力滞翘曲位移时，顶底板与腹板交汇处满足位移协调条件，则腹板的剪力滞翘曲位移可表达为

由虎克定律及几何方程可得剪力滞翘曲应力表达式为

将式（3，4）代入式（5）可得箱梁各个板的剪力滞翘曲应力σ#（x，y，z）：

式（1）中，前一项为考虑剪切变形的初等梁纵向位移，由于此项位移满足平截面假定，因而相应的纵向应力在面内无法合成轴力和弯矩；后一项为剪力滞翘曲产生的纵向位移，与之对应的翘曲应力在面内合成的轴力和弯矩不为0，因此引入全截面翘曲修正系数η予以修正。η通过翘曲应力合成弯矩为0求得，即∫AyσωdA＝0，从而求得

式中 I＝I1＋I2＋I3＋Iw，I1＝2tub1h，I2＝2tb·，I3＝2tub3h2u，Iw＝2tw（＋）／（3cosθ）。下标1～3和w分别代表顶板、底板、悬臂板和腹板（下同）。

3 微分方程及挠度求解

3．1 微分方程的建立

根据弹性力学可知各个翼板的应变能表达式为

由各板的纵向位移表达式可求得相应的线应变和剪切应变，将其分别代入式（8）即可得到各板的应变能表达式，则顶板应变能U1为

底板应变能U2为

悬臂板应变能U3为

考虑剪切变形时的腹板应变能Uw为

计算箱梁外力势能时考虑剪力滞效应附加挠度的影响，即

式中

对式（14）求一阶变分，并令δΠ＝0，得

根据变分引理可得截面微分方程：

f＝C1＋C2z＋C3sinhkz＋C4coshkz＋f＊（2

式中 待定系数由边界条件求解，f＊为仅与q（z）分布有关的特解。当箱梁受均布荷载q作用时，特解可表达为

确定4个常数的边界条件为

固定端：f＝0，f′＝0；

简支端：f＝0，f″＝0；

自由端：f″＝0，f－k2f′＝0。

3．2 挠度的求解

如图3所示，简支箱梁受均布荷载q作用时，箱梁的剪力滞附加挠度可表达为

根据剪力滞附加挠度简支边界条件f（0）＝f″（0）＝f（l）＝f″（l）＝0，确定式（21）的4个参数，代入并整理可得剪力滞附加挠度的表达式为

联立式（16，22）和w′（z）＝∮（z）＋β（z），根据∮的边界条件∮′（0）＝∮′（l）＝0和挠度边界条件w（0）＝w（l）＝0，可确定相应表达式的待定参数，整理可得挠度w的表达式为

式中 前5项为初等梁挠度w0，最后一项为剪切变形附加挠度wd。显然简支箱梁均布荷载作用下的剪切变形附加挠度由跨中向两侧支点呈二次抛物线递减。

如图4（a）所示，两跨连续梁受竖向均布荷载q作用，由于结构和荷载具有对称性，可取其中一跨按照单跨箱梁进行分析，如取右跨分析时，边跨约束如图4（b）所示。

对于图4（b）单跨箱梁，其剪力滞附加挠度的初参数解为式（21），式中系数C1～C4由两端边界条件f（0）＝f′（0）＝f（l）＝f″（l）＝0确定。代入并整理可得附加挠度表达式为

图3 简支箱梁受均布荷载作用Fig．3 Simply supported box girder under uniform load

图4 两跨连续梁按单跨梁计算简图Fig．4 Continuous box girder simulated as a single span

联立式（16，24）和w′（z）＝∮（z）＋β（z），根据∮的边界条件∮（0）＝∮′（l）＝0和挠度边界条件w（0）＝w（l）＝0，可确定相应式子的待定参数，整理可得挠度w的表达式为

式中

式（25）的前6项为初等梁挠度w0，最后一项为剪切变形附加挠度wd。显然单跨梁均布荷载作用下的剪切变形附加挠度由跨中向两侧支点呈三次抛物线递减。

4 算例分析

4．1 简支梁算例

以文献［11］中跨度为50m的简支混凝土斜腹板箱梁为例，截面尺寸如图5所示，材料弹性模量E＝3．1×104MPa，泊松比μ＝1／6。均布荷载2q＝2×1kN／m。

按照图3建立的坐标系，沿z向每隔1m取一个计算截面，应用本文导出的简支箱梁剪力滞附加挠度、剪切变形附加挠度和初等梁挠度计算公式，得到计算截面的三个挠度值。利用ANSYSShell63单元建立有限元分析模型，共划分14874个节点和14800个单元，计算得到计算截面的挠度值；将本文计算值与有限元数值解列入表1并进行对比，同时绘制剪切变形附加挠度和剪力滞附加挠度随跨度的变化图，如图6所示。

图5 简支箱梁截面尺寸（单位：m）Fig．5 Cross section size of simply supported box girder（unit：m）

由表1可知，本文计算的总挠度值与ANSYS数值解吻合良好，二者误差比在0．23%～1．84%之间。初等梁挠度、剪切变形附加挠度和剪力滞附加挠度均由跨中向两侧支点递减。

从图6可以看出，剪切变形附加挠度明显大于剪力滞附加挠度，尤其在跨中截面，二者绝对差值最大，分别占初等梁挠度的2．50%和1．97%。

4．2 连续梁算例

图6 简支箱梁附加挠度随跨度的变化Fig．6 Variation of additional deflection with span of simply supported box girder

文献［16］给出了一个受均布荷载作用的两跨连续箱梁模型，荷载简图如图4（a）所示，单跨跨长l＝800mm，荷载集度q＝0．2kN／m，横截面尺寸如图7所示，材料弹性模量为2．8GPa，泊松比为0．37。

图4（a）所示的两跨连续梁，按照图4（b）所示建立的坐标系，沿z向每隔0．1m取一个计算截面，应用本文导出的连续箱梁剪力滞附加挠度、剪切变形附加挠度和初等梁挠度计算公式，计算得到计算截面的三个挠度值。利用ANSYS－Shell63单元建立有限元分析模型，共划分5010个节点和4992个单元，计算得到计算截面的挠度值；将本文计算值与有限元数值解列入表2进行对比。同时绘制剪切变形附加挠度和剪力滞附加挠度随跨度的变化图，如图8所示。

图7 两跨连续箱梁截面尺寸（单位：mm）Fig．7 Cross section size of two－span continuous box girder（unit：mm）

表1 简支箱梁挠度（单位：mm）Tab．1 Deflection of simply supported box girder（unit：mm）

表2 连续箱梁挠度（单位：mm）Tab．2 Deflection of continuous box girder（unit：mm）

图8 单跨梁附加挠度随跨度的变化Fig．8 Variation of additional deflection with span of single span box girder

由表2可知，本文计算值与有限元数值解吻合良好，二者误差比基本在±4%以内。对于两跨连续梁跨中截面，剪力滞和剪切变形附加挠度均达到最大值；距中支点9l／16截面的总挠度最大，原因在于此处初等梁挠度最大，且初等梁挠度在总挠度中的比例最大。

从图8可以看出，剪切变形和剪力滞附加挠度由跨中截面向两侧支点递减；距中支点9l／16截面处的剪切变形和剪力滞附加挠度绝对差值最大，分别占初等梁挠度的27．45%和16．87%。

5 结 论

本文在重新定义剪力滞翘曲位移模式的基础上，将腹板的剪切变形纳入初等梁变形，选取附加挠度为广义位移，应用能量变分原理建立了剪力滞和剪切效应分析理论。通过简支箱梁和连续箱梁算例计算表明，本文方法计算的总挠度值与有限元数值解吻合良好，从而验证了本文理论的正确性和合理性。本文方法具有一般性，当剪切系数为0时，可退化为传统的剪力滞效应分析理论。

结果表明，剪切变形附加挠度明显大于剪力滞附加挠度；对于简支箱梁跨中截面，二者绝对差值最大，且分别占初等梁挠度的2．50%和1．97%；两跨连续箱梁距中支点9l／16截面处，剪切变形和剪力滞附加挠度的绝对差值最大，两者分别占初等梁挠度的27．45%和16．87%。