平板介质波导特征方程几何光学推导的一种修正

王 宁，田文昊，李代林，朱化凤，王 涛

（中国石油大学（华东）理学院 山东 青岛 266580）

1 引言

作为一种能够引导光束传播并且能够对光束产生约束作用的光学介质，波导材料一直被广泛应用[1-4]。如平板介质波导材料，目前在波导激光器[5]、太赫兹波导器件[6]、波导传感器[7]、光学扫描仪[8]、波导光栅[9]等方面仍有相关研究和应用的报道。波导的特征方程（也称色散方程或波导条件）是研究其光束传输行为和规律的基本理论公式。

在目前已有的报道中，对于波导特征方程的推导，主要有几何光学和电磁场理论两种方法。电磁场理论因其求解准确，被广泛应用于各种波导材料光场求解及特性分析中。然而电磁场方法推导过程较为复杂，且在分析和推导相应规律时较为抽象，不易与物理模型进行直观的对应。波导介质特征方程的推导以及光线特性分析可以利用几何光学的分析方法，使求解过程变得简单清晰，且能与物理模型直接对应，易于理解。因此，在很多已有的文献资料中使用了几何光学方法[10-13]。

实际上，波导条件证明过程是在很多教科书出现的。然而，已有的教科书特别是国内教科书，往往利用了某些特殊条件下光线之间的关系或者不加推导直接引出。这些处理虽然简单明了，却在推导的一般性方面有所缺失，不能够给学习者一个更为普适和全面的理解。如文献[10]中采用了单条光线自身相长干涉的推导方法，此种情况只能对光线在纤芯和包层交界面入射角度较小时适用。文献[10]也说明在较大角度下也是能够得到波导条件的，但未给出详细的推导过程。文献[11-13]给出的方法是在两波阵面间两条特殊位置关系的光线之间的相位周期关系，即利用两条光线在上下波导界面的反射点连线恰好与波阵面重合的特殊情况。文献[14-16]中由自洽条件直接引出波导条件，并没有给出推导过程。本文分析了已有方法在推导过程中存在的问题，并在前人推导方法的基础上，给出了更为一般情况下的平板介质波导特征方程的推导方法，同时巧妙引入过渡角参量简化了推导过程，为利用几何光学方法进行波导特征方程的推导提供了一种修正，有利于光学波导特征方程更为直观而透彻的理解。同时对薄膜层中光线传播可能出现的其他情况，以及是否满足波导特征方程进行了讨论，对加深波导特征方程的理解提供了有益的帮助。同时也为学习者和教学者在涉及该理论规律的讨论时，提供了一种更为全面和透彻的解释。

2 推导方法修正

为了使推导过程更具一般性，本文试图对已有推导方法进行修正。建立模型时，采用了相对位置更为普通的平行光束进行推导，同时引入过渡量进行推导，使过程变得简单巧妙。

波导光束传输示意图如图1所示，可以看出，与国内教材不同，图1中上下两个反射点的连线B’C已不再与波阵面重合，即A’B’已不再垂直于B’C。此时的波阵面是一个比较一般情况下的波阵面B’F，而推导利用的两个波阵面为BE和B’F。为了计算的简便，我们引入了一个中间过渡量，角度γ，即∠B’CH。

实线ABCD和A’B’C’代表平面波的两条射线，虚线BE和B’F表示向上斜射的平面波的两个波阵面。因此，两条光线在两个波阵面之间传播分别经历的相位变化只差应为2π的整数倍。光线由B到F所经历的相位变化为k0n1(BC+CF)，光线由E到B’所经历的相位变化为k0n1EB’，二者的相位变化之差为：

由几何关系可知：

由式（4）可以看出，计算过程中包含角度γ的项被消掉，直接得到最终结果，简化了计算过程。

因此，二者的相位变化之差为：

考虑到上下交界面全反射时的相位变化，根据如前所述的位相关系，可以得到位相变化之差满足：

本推导在传输光线相对位置更为一般的情况下进行，因而在导出波导条件时更为自然，对目前教科书中已有的推导过程提供了一种理论修正。

3 其他情况讨论

图1给出了波导层中较为一般情况下的两条平行光线传播的情况，代表着波阵面的B’F此时没有与B’C重合而是在它的右侧。如果以波阵面与B’C的位置关系来看，文献[11-13]中为夹角为0°的情况，图1为夹角大于0°的情况。是否存在第三种情况，即图2所示的，夹角小于0°的情况，即波阵面B’F此时在B’C的左侧，此时A’B’仍不垂直于B’C。

按照之前类似求解思路，光线由B到F所经历的相位变化为k0n1BF，光线由E到B’所经历的相位变化为k0n1EB’，二者的相位变化之差为：

利用几何关系可知：

将以上关系式代入公式（7）可得：

由以上结果可知，若式（9）满足波导特征方程，即Δψ=2k0n1dcosθ，则化简后有：cos(θ+γ)=0。对于波导的光线传输情况，两个角度均为锐角，因此可知θ和γ互余，这意味着A’B’与B’C垂直，这显然与图2的情况矛盾。也就是说，该种情况下的传播光线不可能满足波导特征方程。这与文献中并不是所有满足全反射条件的光线都能够产生导波的结论是一致的。另外，图2这种情况只考虑了光线在薄膜层上界面的全反射，没有考虑光线在下界面的全反射，无法全面反映薄膜层中光线的传输行为，不利于波导特征方程的推导。

4 结语

本文围绕平板介质波导特征方程的推导进行分析，指出了已有几何光学推导方法的问题和适应条件。针对已有推导缺乏一般性的情况，给出了更为一般情况下的平板介质波导的特征方程的推导方法，通过巧妙引入中间过渡量角度γ，使推导过程变得非常简单。在推导特征方程的分析中，以波阵面与传播光线反射点连线的位置关系出发，对可能出现的波阵面与反射点连线间夹角大于0°、等于0°、小于0°等各种光束传输的情况进行了讨论。等于0°的情况利用了平行光线中两条位置较为特殊的情况，虽然推导出了波导特征方程，但一般性不足。

通过利用相对位置更为一般的波导传输光学进行推导，得到了如下结论：（1）利用相对位置更为一般的两条传输光线，即波阵面与反射点连线间夹角大于0°的情况，通过推导得到了特征方程，同时引入过渡角使推导更为简化，对于波导条件的几何光学推导方法提供了一种理论修正。更有利于学习者从更为一般的情况下理解波导条件的成立。（2）而对于可能出现的其他光线传输情况，即波阵面与反射点连线间夹角小于0°的情况，通过计算表明此时不能满足波导条件，即无法形成导波传输。

分析结果为利用几何光学方法进行平板介质波导特征方程的推导提供了有益的修正和更为透彻的理解。