交错轴变比齿条变比齿廓数字建模

牛子孺，辛振波，赵新学，李 扬，李刚炎，涂 鸣，刘向峰

(1.山东农业大学 机械与电子工程学院，山东 泰安 271018； 2.武汉理工大学 机电工程学院，湖北 武汉 430070； 3.华中农业大学 工学院，湖北 武汉 430070； 4.山东华盛农业药械有限责任公司，山东 临沂 276017)

0 引言

汽车转向器决定的转向系统传动比，是影响汽车转向品质的重要因素。一般而言，汽车高速直线行驶时，为保证行驶稳定性，期望转向器传动较小；汽车低速大转弯行驶时，为了使转向轻便快速，期望转向器传动较大，定传动比转向器显然无法满足这一要求。面向汽车转向的更高要求，机械式变比转向器应运而生，齿轮齿条变比转向器由一级交错轴变比齿轮齿条副构成，斜齿轮渐开线齿廓与齿条变比齿廓啮合实现变比传动，变比齿廓是与之啮合的渐开线齿廓按照变比曲线约束的运动关系，包络后形成的非渐开线曲面。如何优化设计并保证制造满足设计要求，是变比齿廓设计中的理论问题。

复杂齿廓的建模方法主要包括布尔运算法[1-2]和啮合原理数字解析法[3-7]。布尔运算法基于齿廓范成加工原理，通过三维建模软件布尔宏程序编译与运算，实现齿廓实体建模，其理论简单、过程直观，但是齿廓残留的布尔切痕严重影响了模型精度。王犇等[1]结合建模软件的仿真功能和曲面拟合技术建立了弧齿锥齿轮齿廓的实体模型;李统中等[2]建立了刀具展成加工凹节曲线斜齿非圆齿轮的数学模型，实现了非圆齿轮齿廓的三维建模。数字解析法基于啮合原理，通过分析齿轮副啮合关系建立啮合方程，采用数值计算生成离散化的齿廓点云，通过曲面拟合得到齿廓实体模型，其建模精度较高。魏伟锋等[3]研究了直线共轭内啮合泵内外齿轮齿廓的设计问题，建立了共轭齿廓法线反转法求解理论，研究了采用啮合线求啮合角、滑动率、压力角的方法;TSAI等[4]推导了具有点接触特性的弧齿锥齿轮的啮合方程，通过设计齿面接触路径构建齿廓;CHEN等[5]以空间啮合理论为基础，研究了微小弹性啮合轮的空间曲线啮合理论，推导了啮合曲线方程;Zhang等[6]介绍了齿面法线方向角的概念，建立了描述非圆斜齿轮齿廓几何特性的通用数学模型;刘志等[7]运用空间包络原理和坐标转换等解析方法构建了表征平面二次包络环面蜗杆和蜗轮的齿廓的数字模型，计算出了环面蜗杆副齿廓的全部啮合点。

在变比齿廓建模方面，布尔运算法[8-10]的代表性研究有：Hu等[8]将变比曲线表征的渐开线齿轮转角和变比齿条位移关系数字化，在CATIA中建立了变比齿廓实体模型;胡大伟等[9]在三维建模软件中，基于变比运动规律建立布尔减运算宏程序，模拟变比齿廓范成加工过程生成变比齿廓三维模型;张斯宇等[10]提出一种基于布尔减运算和曲线拟合的变比齿廓建模方法，在一定程度上弥补了布尔减运算建模不精确的弊端。变比齿廓啮合原理数字解析法[11-16]建模的代表性研究有：唐进元等[11]采用啮合原理，对齿轮共轭曲面几何和接触性质进行了深入研究;贺敬良等[12]研究了循环球变比转向器变比原理，推导了变比齿轮副啮合方程，生成了变比齿廓模型;Hu等[13]采用啮合原理，建立了变厚变比齿轮齿条副中的变比齿条齿廓数字点云模型;颜甜莉等[14]采用一种数值方法计算变比齿廓点高度值，得到了变比齿廓点云模型，通过对比理论变比曲线与样件测试变比曲线，验证了该方法的有效性;牛子孺等[15-16]基于数字设计思想，建立了平行轴及交错轴变比齿条齿廓点求解数学模型，生成了变比齿廓点云模型，并通过样件试制与测试验证了方法的正确性。

上述研究发现，采用布尔运算法建立变比齿廓实体模型具有以下不足：由于建模软件的限制，建模时的计算步长不能无限取小(当步长趋近于零时，得到精确的变比齿廓)，使得建立的变比齿廓实体模型有明显切割痕迹，为非连续曲面，建模精度很差，目前已不是学术界研究的重点；采用啮合原理数字解析法求解变比齿廓也存在种种弊端：当变比齿轮副重合度大于1时，所建立的啮合方程解不唯一；变比齿廓边界条件复杂，无法获得变比齿廓齿顶、齿根边界点的精确值；所建立的变比齿廓点沿啮合线分布，不能直接应用于数控加工，需要曲面拟合后二次生成加工用点云，这势必导致制造误差的累积；无法避免地要计算变比齿轮齿根和齿顶的非变比齿廓点云，计算繁复，建模效率低下。

本文提出的全新变比齿廓数字设计方法，克服了上述啮合原理数字解析法研究中存在的各种弊端，所提求解算法能够高效、精确地计算变比齿廓点，生成的变比齿廓点云可直接应用于数控加工，从而实现变比齿廓的高精度制造。

1 齿条变比齿廓求解的概念模型

为实现齿条变比齿廓的求解，将变比齿轮齿条副中的渐开线斜齿轮看作无数个垂直于其轴线的、无限接近平面截切其实体后得到的截交线集合。变比齿轮齿条副传动可以看作齿条变比齿廓与截交线集渐开线齿廓的啮合，参与啮合的截交线渐开线齿廓与变比齿廓为点接触，所有啮合点的集合构成变比齿廓。齿条变比齿廓求解概念模型如图1所示，定义过变比齿廓上的任意一点为M，且平行于齿条长度方向的直线为“计算直线”，与变比齿条固连。变比传动过程中，计算直线与对应的各个截交线渐开线齿廓相交，所有交点中，齿条长度方向取得极值点，为此计算直线对应的变比齿廓点。

2 齿条变比齿廓的数字建模

2.1 变比齿轮齿条副坐标系及其转换

首先建立转向器变比齿轮齿条副坐标系统。根据装配关系，建立的坐标系统(如图2)包括4个笛卡尔直角坐标系，s1(o1-x′y′z′)为变比齿条固联坐标系，s2(o2-xyz)为变比齿条参考坐标系，两坐标系各坐标轴初始时刻分别重合，s3(o3-ε′ηz″)为斜齿轮固联坐标系，s4(o4-εηz)为斜齿轮参考坐标系，两坐标系各坐标轴初始时刻分别重合。初始时刻，上述4个坐标系的原点位于斜齿轮齿宽方向中间截面的几何对称中心，即原点o1，o2，o3，o4重合于图2所示的点o，初始时刻斜齿轮齿宽方向中间截面的截交线某一齿在变比齿条齿顶面以下，且关于z轴对称，坐标轴η沿斜齿轮轴线方向，坐标轴y沿变比齿条齿宽方向，二者间的夹角为变比齿轮齿条副的交错角ζ，初始时刻变比齿轮齿条副对应变比曲线对称中心的传动比。

根据齿条变比齿廓求解概念模型的描述，需计算生成变比齿条固联坐标系中的变比齿廓点，因此需要将在斜齿轮固联坐标系下得到的计算直线与截交线渐开线齿廓的交点值，转换到变比齿条固联坐标系。由坐标转换理论，定义变比齿条固联坐标系的矢向量为r1，斜齿轮固联坐标系的矢向量为r3，则两个坐标系的转换关系为

r1=Mo1o3r3，

(1)

即

(2)

由于

Mo1o3=Mo1o2Mo2o4Mo4o3，

(3)

其中：

(4)

(5)

(6)

可得

(7)

由此可得，斜齿轮固联坐标系和变比齿条固联坐标系的坐标转换关系式为

(8)

式中：φc为斜齿轮转角；s为变比齿条位移。

2.2 渐开线曲线族方程

基于齿条变比齿廓求解概念模型的描述，为了得到计算直线与截交线(定义为参考截交线)各个齿左右渐开线齿廓的交点，结合初始时刻的定义，需要在斜齿轮固联坐标系中建立各个截交线各个齿左右齿廓渐开线的曲线族方程。齿廓渐开线曲线族指截交线渐开线齿廓随其绕轴线转动时在空间形成的曲线束。

首先建立ε′oz″平面内的截交线(定义为参考截交线)各个齿左右渐开线曲线族方程，其他截面内的截交线相对于ε′oz″平面内的参考截交线旋转了一个角度，该角度由斜齿轮螺旋角和定义的截交线集决定。如图3a所示，定义σ0为初始时刻参考截交线在变比齿条齿顶面以下且关于z″轴对称齿(定义为参考齿)的右侧渐开线起点与基圆圆心连线和z″轴夹角。初始时刻，任意截交线在参考齿所属的斜齿轮轮齿上的渐开线右齿廓初始角

σi=σ0+μ′ηtanβ/R，

(9)

则截交线集中任意截交线各个齿右侧渐开线曲线族方程为：

i,κ=0,1,2,…,n。

(10)

如图3b所示，截交线集中任意截交线各个齿左侧渐开线曲线族方程为：

ϖc);

i,κ=0,1,2,…,n。

(11)

2.3 计算直线与渐开线交点方程

x′=ε′cosζcosφc+ηsinζ+z″cosζsinφc+s;

m,q=0,1,2,…,n。

(12)

计算直线与截交线各个齿右侧渐开线的交点应满足方程(10)，计算直线与截交线各个齿右侧渐开线的交点计算方程为：

x′=ε′cosζcosφc+ηsinζ+z″cosζsinφc+s;

φc=f-1(s);

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(13)

计算直线与截交线各个齿左侧渐开线的交点应满足式(11)，直线与截交线各个齿左侧渐开线的交点计算如下：

x′=ε′cosζcosϖc+ηsinζ+z″cosζsinϖc+s;

yq′=-ε′sinζcosϖc+ηcosζ-z″sinζsinϖc;

zm′=-ε′sinϖc+z″cosϖc;

ϖc=f-1(s);

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(14)

式中φc=f-1(s)为变比曲线表征的变比齿条位移与斜齿轮转角关系方程。计算变比齿廓点时，截交线齿顶圆与基圆之间的渐开线为有效渐开线，其上每一点对应一组压力角和展角，定义截交线渐开线齿廓某点处的压力角和展角之和为“判断角”，判断角与交点存在一一对应关系，计算时通过判断角的值，判断交点是否在截交线的有效渐开线上，即满足

(15)

2.4 变比齿廓求解数学模型

根据变比齿轮齿条副坐标系统，可以确定计算直线与截交线各个齿右侧渐开线齿廓相交时，变比齿廓点的长度值为最大值；计算直线与截交线各个齿左侧渐开线齿廓相交时，变比齿廓点的长度值为最小值，结合约束最优的数学思想，建立变比齿廓点求解数学模型。与截交线集各个截交线各个齿右侧渐开线齿廓啮合的变比齿廓点长度值的计算数学模型为：

min-x′=-ε′cosζcosϖc-ηsinζ-z″cosζsinϖc-s。

ϖc)=ε′;

-ε′sinζcosϖc+ηcosζ-z″sinζsinϖc=yq′;

-ε′sinϖc+z″cosϖc=zm′;

μb′≤μ≤μa;

ϖc=f-1(s);

ηmin≤η≤ηmax;

ϖcmin≤ϖc≤ϖcmax;

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(16)

与截交线集各个截交线各个齿左侧渐开线齿廓啮合的变比齿廓点长度值的计算数学模型为：

minx′=ε′cosζcosϖc+ηsinζ+z″cosζsinϖc+s。

ϖc)=ε′;

-ε′sinζcosϖc+ηcosζ-z″sinζsinϖc=yq′;

-ε′sinϖc+z″cosϖc=zm′;

μb′≤μ≤μa;

ϖc=f-1(s);

ηmin≤η≤ηmax;

ϖcmi≤ϖc≤ϖcmax;

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(17)

式中：[ϖcmin,ϖcmax]为变比齿廓点长度值对应的斜齿轮转角范围；[ηmin,ηmax]为变比齿廓点的长度值对应的截交线子集范围。采用上述模型计算得到变比齿廓点的长度值，并得到模型的返回值y′和z′，进而得到变比齿廓点在变比齿条固联坐标系中的坐标值(x′,y′,z′)。

3 齿条变比齿廓数字求解

3.1 变比曲线与运动方程

齿轮齿条变比转向器变比齿轮齿条副的传动比是斜齿轮转角的函数。目前，采用较多的变比曲线如图4所示，变比曲线通式为

(18)

(1)当φc∈[-φc1,φc1]时,

(19)

(2)当φc∈[φc1,φc2]时,

(20)

(3)当φc∈[-φc2,-φc1]时，

(21)

(4)当φc∈[φc2,φcmax]时，

(22)

(5)当φc∈[-φcmax,-φc2]时，

(23)

(6)特殊转角、和处的变比齿条位移为：

s1=i1φc1;

(24)

(25)

(26)

3.2 变比齿廓点云域

3.2.1 变比齿廓点云二维域

首先确定变比齿廓设计的二维域，这里定义的二维域与传统意义上的齿轮副啮合区间不同，当变比齿轮齿条副按照变比曲线约束的运动变比传动时，计算直线只与二维域内的截交线渐开线齿廓产生交点。如图2所示，在变比齿轮齿条副的坐标系中，变比齿条参考坐标系s2(o2-xyz)的任意y截面内，变比齿条齿顶面z=-Rx与截交线集齿顶圆柱两个交点的x坐标分别为：

(27)

式中Ra为斜齿轮齿顶圆半径。定义区间[x1,x2]为变比齿廓设计的二维域。如图2所示，计算直线上的点M处，变比齿条齿坯顶面以下与该点具有相同坐标的点，只有可能被线段ab与cd之间的截交线集的渐开线齿廓包络去除，定义线段ab与cd之间的截交线集为点M所在计算直线的遍历截交线子集;并且点M对应的y截面内的任意一条计算直线上的点也只可能被ab与cd之间的截交线子集的渐开线齿廓包络去除，定义线段ab与cd之间的截交线集为截面内的任意一条计算直线的遍历截交线子集。二维域在斜齿轮固联坐标系s3(o3-ε′ηz″)内表示为[η1,η2],

(28)

3.2.2 变比齿廓点云三维域

(29)

式中B为斜齿轮齿宽。由于变比齿条位移范围和斜齿轮转角范围的限制，求解变比齿廓时，只有在某一个长度范围内求得的变比齿廓点才有实际意义，变比齿廓求解的包络长度区间由变比曲线限定的截交线集的最大转角φcmax决定。变比齿轮齿条副中的变比齿条和截交线集的相对位置如图5所示，图5a为变比齿廓求解的初始时刻；当截交线集转动到最大角度φcmax时，变比齿条对应的最大位移为smax，如图5b所示。

根据变比曲线，在斜齿轮传动行程内，变比齿条的最大位移为

(30)

由变比齿廓求解的二维域可得

(31)

由于存在变比齿轮齿条副交错角，为了保证变比齿廓点计算的正确性，还要附加一个长度s″，

(32)

包络长度区间为[s1,s2]，

(33)

包络高度区间由斜齿轮的齿顶圆Ra、变比齿条齿根与斜齿轮齿顶之间的顶隙C′，以及以斜齿轮轴线为轴线且与变比齿条齿顶面相切的圆柱的半径Rx确定(如图2)，包络高度区间为[h1,h2]

(34)

3.3 变比齿廓求解算法

变比齿廓求解算法流程如图6所示，具体步骤如下：

步骤2根据变比齿轮齿条副设计参数，确定变比齿廓求解的二维域和三维域。

4 齿条变比齿廓数字建模方法验证

4.1 变比齿廓建模实例

为验证前述变比齿廓建模方法，下面给出一个工程实例，某型齿轮齿条变比转向器变比齿轮齿条副中的斜齿轮参数如表1所示，转向器的变比曲线为

-324°≤|φc|≤324°。

(35)

表1 斜齿轮参数

续表1

4.2 变比齿廓数控加工实例

齿轮齿条变比转向器齿条变比齿廓采用数控端铣加工，粗加工采用CAM系统实施加工仿真，完成无干涉检查后输出数控G代码，代码为后缀为.NC的文件，根据实际零件的几何特征对代码进行修正后，输入数控机床，完成变比齿廓数控粗加工。粗加工仿真如图9所示。

表2 齿条变比齿廓加工参数

4.3 变比齿廓传动比和传动稳定性测试

齿轮齿条变比转向器最重要的传动特征是“变速传动”，机构变速传动性能的重要衡量指标是其“传动稳定性”。因此，设计的变比齿廓是否满足变比曲线，其传动稳定性如何，可以有效反映设计的正确性。变比齿廓传动稳定性的表征参数包括传动误差、传动速度和传动加速度，本文通过对传动比、传动稳定性测试与测试数据进行定量分析，验证变比齿廓设计方法。

根据国标QC/T29097-2010，变比曲线和传动稳定性测试方法为：固定齿轮齿条变比转向器样件，输入轴联接驱动装置，输出端的变比齿条联接光栅尺和速度传感器，并通过加载装置施加定载荷。转动输入轴，使变比齿条从一端极限位置移动到另一端极限位置，测量变比齿条的位移瞬时值和速度瞬时值，采用求导函数对速度求导得到变比齿条加速度值，测试工况为：转向器输入端转速10 r/min，输出端载荷为2 000 N。

齿轮齿条变比转向器的传动比为齿条位移增量Δs与齿轮转角增量Δφc之比，为线角传动比(单位：mm/(°)):

(36)

根据式(36)，采用上述测试工况时，齿轮齿条变比转向器输入端转速dφ/dt为常数，齿条变比齿廓传动比与输出端齿条位移成正比，因此传动误差可以表征传动比。变比曲线和传动稳定性测试如图11所示。

齿条变比齿廓传动误差测试结果如图12所示，测试表明：测试工况下，最大瞬时传动误差为0.131 mm，误差百分比最大值为9.53%，齿轮齿条变比转向器样件一个转向行程内，总传动误差为0.229 mm，平均传动误差为0.031 mm。齿条变比齿廓传动速度测试结果如图13所示，传动加速度测试结果如图14所示，测试表明：测试工况下，速度波动幅值为4.14 mm/s，速度误差百分比最大值为8.03%，速度波动平均值为1.20 mm/s；加速度波动幅值为126.052 mm/s2，加速度波动平均值为65.524 mm/s2。样件测试结果满足国标QC/T29097-2010。

5 结束语

本文提出一种变比转向器齿条变比齿廓数字求解方法，在变比齿廓点求解概念模型的基础上，完成了变比齿廓点计算的理论推导，建立了变比齿廓点计算的数学模型；提出变比齿廓点计算数学模型的求解算法，并实现了面向数控端铣精加工刀具路径规划的变比齿廓点云的直接生成，实现了变比齿廓的数控加工；提出变比齿廓设计验证方法，将传动稳定性参数作为验证目标，通过测试分析，验证了本文变比齿廓设计理论及方法的正确性。

本文研究成果克服了现有转向器齿条变比齿廓设计理论的种种弊端，形成了面向数控加工的非渐开线变比齿廓数字建模理论及方法，提升了制造精度和效率，成果将推进变比齿廓数控加工的进程，并对采用变比齿廓的变比转向器及其他机械装置的推广应用产生了积极的推动作用。本文在变比齿廓设计过程中，考虑了变比齿轮副传动的几何特征，但并未涉及例如强度、温度等物理因素对变比齿廓设计的综合影响。因此，建立衡量物理因素的变比齿廓设计关联模型，将是变比齿廓设计进一步研究的重点；研究变比齿廓宽行数控加工技术，将是进一步提升变比齿廓加工效率的有效手段。