经历抽象 引领建构

史厚勇

（江苏省南通市城港小学，江苏南通 226000）

引 言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“经历数与代数的抽象……经历图形的抽象……”可见，抽象是数学活动中最基本的思维方法，是数学教学的主线。教师应积极引领学生经历抽象过程，渗透抽象，体会、感悟抽象，逐渐用数学的眼光去建构数学知识，从而提升学生的数学素养。

一、经历抽象，建构数学概念

数学概念是现实情境数学化的产物，是在数学抽象的基础上建构。在小学数学概念教学中，应引导学生尝试经历数学概念的抽象过程，逐渐将数学概念从感性上升到理性，内化数学概念，让概念刻在学生思维深处。

例如，教学苏教版三年级上册“认识分数”，笔者对“1/2”的引入是从一种感性具体上升到理性思维的过程，尝试引导学生经历“情境—表象—内涵—符号”的逐步抽象。

笔者首先从具体情境引导学生观察教材情境图。通过对“4个苹果”“2瓶饮料”和“1个蛋糕”的解读帮助学生感悟“1”是自然数的单位，为后续分数单位的顺利抽象积累数学活动经验；然后引导学生思考“把每种物品平均分成2份，每人分得多少？”学生很自然地将“4个苹果平均分成2份，每份是2个”“2瓶饮料平均分成2份，每份是1瓶”“1个蛋糕平均分成2份，每份是半个”；学生在“平均分”的情境支撑下，对“怎样用一个数表示半个”充满了渴望，激活了学习动机。当学生提出用“1/2”表示时，笔者已经在潜移默化中帮助他们将感知的对象抽象成表象，他们经历了从“实物”到“表象”的过程；笔者然后引导学生继续分：把1个月饼平均分成2份，每份是多少？把一张长方形纸平均分成2份，每份是几张？一个圆平均分成2份，每份是多少？……通过引导学生从众多的事物中抽取共同的、本质的特征—“1/2个月饼”“1/2张纸”“1/2个圆”，引导学生发现：它们的数量都是“1/2”；同时对“1/2”进行本质思考：为什么这些“1/2”表示的东西不同，却都可以用“1/2”表示，进一步帮助学生从数学意义的层面理解“1/2”，这样“1/2”的内涵在学生头脑中自然清晰。学生从众多的素材中经历“1/2”的抽象，经历了“1/2”的内涵理解。凸显学生抽象的结果符号化，建立符号“1/2”现实问题情境的双向循环，使他们对“1/2”的理解更加深刻。

二、经历抽象，建构算理算法

数学算理与算法在生活中并没有与之相对应的现实原型，仅仅是数学量化的表现，其实质是现实原型的外部特征逐步抽象出的数学原理和操作程序[1]。在教学中，教师应该尝试引导学生将现实原型“直观形象”，引领他们抽象直观，让算理算法在他们思维深处层层推进，螺旋提升。

例如，教学苏教版三年级下册“两位数乘两位数（笔算）”。笔者创设了一个购买迷你南瓜的生活场景。学生在具体情境中，从搬运南瓜的活动中提取数学信息，为其算理理解提供情境支撑。学生从具体情境中抽象出数学问题，列出算式，此时的数学问题带有很强的情境色彩，是学生初步抽象的数学问题；笔者然后引导学生尝试结合情境，结合旧知经验，讨论解决问题的办法。学生从情境中发现：可以先计算10箱迷你南瓜的数量，再计算搬运2箱的数量，二者相加后，便是12箱迷你南瓜的数量；也可以先2箱2箱的计算，再算6个2箱，得到总数。这种情境支撑下的问题解决，实际上为学生理解算理提供了直观模型。接着，笔者引导学生用竖式解决问题。学生在用竖式计算时，是高层次的抽象，是在脱离具体情境下进行的。此时笔者将学生的语言表达与数学符号表达紧密结合，并相互转换，引导他们借助已有经验对两位数乘两位数进行描述。

三、经历抽象，建构公式规律

数学公式的推导和规律的发现是数学对象在抽象过程中逻辑的建构，是数学思维构造性活动。在教学中，教师要引导学生经历数学对象的抽象过程，经历数学思维的“自由创造”过程；并在抽象过程中凸显公式推导、规律发现，让公式推导、规律发现烙印于学生思维深处。

例如，教学苏教版五年级上册“平行四边形的面积”，笔者首先借助于不规则图形与规则图形的大小比较，引导学生利用割补的方法，将不规则图形等积转化成规则图形，感受图形形状的变化；其次在此基础上，引导学生将方格纸中的平行四边形转化成长方形，同时笔者提供操作活动，鼓励他们动手实践，在图形直观、图形变换的基础上积极开展形象思维，引导他们将具体问题“数学化”，实现数学知识的“再创造”，学生在操作中感知和体验图形之间的本质联系，感悟到平行四边形的面积、底、高这三个量的内在关系，从而实现外在的形状抽象到内在的关系抽象的飞跃；再次笔者运用推理，利用类比和转化等思想，引导学生沟通平行四边形的面积与长方形的面积，经历等积推理，实现平行四边形面积计算的感悟；最后再引导学生将内在的关系抽象为符号，用数学符号表述平行四边形的面积，实现平行四边形面积推导的再次提升。

学生在笔者的引导下，经历具体问题—数学问题—图形关系—内在关系—符号表征的逐步抽象过程，让平行四边形面积公式深深烙印在他们的思维中，他们在思维的再创造、再经历中体会抽象的价值与魅力。

四、经历抽象，建构数学模型

数学模型是“采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构”。在小学数学教学中，数学问题中的数量关系和变化规律的抽象表达虽然还不能说是严格意义上的数学模型，但显然已经蕴含了一定的数学模型的雏形；同时在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也指出：数学活动“应体现‘问题情境—建立模型—求解验证’的过程”。这种抽象经历对于小学生而言，有助于他们积累更多的数学思维活动经验，提升他们的数学思维能力，感悟模型，为后续数学模型的建构提供感性和理性的双重支撑。

例如，在教学苏教版六年级下册“解决问题的策略”时（例2：全班42人去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人，租的大船、小船各有多少只？），笔者引导学生提出假设猜想：假设10只都是大船，假设9只大船、1只小船，假设8只大船、2只小船……学生提出的假设往往不是问题的答案，船上的总人数不是比42人多，就是比42人少，需要调整大船、小船的只数……学生在假设、调整中逐渐逼近正确的结果；笔者通过引导学生对问题解决方法进行回顾与发现，感悟到解决同一个问题虽然在方法上是多样的，但其实质都是以假设为起点，都是在假设中通过适当的调整得到正确的结果，从而初步帮助学生建立假设模型；接着，笔者引导学生对假设策略进行“二次发现”，引导他们体验到在假设过程中，数量之间的变化关系，在变化中寻找变化缘由，形成解题模型，巧妙解题。

学生在笔者层层引领中，在假设模型的逐步建构中，逐渐理解、完善对假设模型的认知结构，其数学能力、数学思想逐渐得到提升、得到升华。

结 语

在数学教学活动中，要在学生已有知识和经验的基础上，在具体数学情境中引导他们经历抽象过程，促进他们抽象意识的形成，从而让他们品味数学抽象的魅力，感悟抽象、建构抽象，进而促进抽象素养的提升。