这组问题你能分清吗

■山东省枣庄市第二中学　李 琳

(1)存在x∈[0,2],使得f(x)=g(x),求实数a的取值范围;

(2)若方程f(x)=g(x)在[0,2]上有解,求实数a的取值范围;

(3)若存在x∈[0,2],使得f(x)＞g(x),求实数a的取值范围;

(4)若对任意x∈[0,2],恒有f(x)＞g(x),求实数a的取值范围;

(5)若对任意x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)＞g(x2),求实数a的取值范围;

(6)若对任意x1,x2,x3∈[0,2],恒有f(x1)+f(x2)＞g(x3),求实数a的取值范围;

(7)若对任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求实数a的取值范围;

(8)若对任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围;

(9)若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求实数a的取值范围。

(2)解析:方程f(x)=g(x)在[0,2]上有解等价于存在x∈[0,2],使得f(x)=g(x),故本题解法同(1)。

点评:根据方程有解求参数取值范围,常采用分离参数法,但若给出方程解的个数求参数范围,一般不宜用分离参数法。

(3)解析:据题意,若存在x∈[0,2],使得f(x)＞g(x),即h(x)＞a有解,故h(x)max＞a,由(1)知h(x)max=4-ln3,于是得a＜4-ln3。

点评:在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的式子)能够与其他变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法。另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题。

(4)解析:对任意x∈[0,2],恒有f(x)＞g(x),即x∈[0,2]时,h(x)＞a恒成立,即h(x)min＞a,由(1)可知h(x)min=0,所以a＜0。

点评:比较(3),(4)可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一谈。另外,还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值。对以下充要条件应细心思考,甄别差异:

①若f(x)值域为[m,n],则不等式f(x)≥a恒成立⇔a≤m,不等式f(x)≥a有解⇔a≤n。

②若f(x)值域为[m,n],则不等式f(x)＞a恒成立⇔a＜m;若f(x)值域为(m,n],则不等式f(x)＞a恒成立⇔a≤m。

(5)解析:由题中条件可得f(x)的值域Α=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln3-a],若对任意x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)＞g(x2),即f(x)min＞g(x)max,即0＞ln3-a,所以a＞ln3。

点评:(4)与(5)虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别。(4)中不等式的左右两端函数的自变量相同,而(5)中不等式的左右两端函数的自变量不同,x1,x2的取值在[0,2]上具有任意性。

(6)解析:由(5)的解法可知对任意x1,x2,x3∈[0,2],恒有f(x1)+f(x2)＞g(x3),即2f(x)min＞g(x)max,即0＞ln3-a,所以a＞ln3。

(7)解析:对任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),即f(x)max＞g(x)max,由(4)可知即4＞ln3-a,所以a＞-4+ln3。

(8)解析:对任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),则B⊆A,所以

点评:因为对f(x)值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2)的充要条件是g(x2)在f(x)的值域内,因此,g(x)的值域是f(x)的值域的子集。

(9)解析:若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),则f(x)max＞g(x)min,即4＞-a,所以a＞ -4。

点评:请将(5)、(7)、(9)仔细对比,体味任意与存在的区别。另外,对于存在性与任意性的综合问题可先把其中一个函数看作常数,如(7)“若对任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2)”,可令g(x2)=M,问题转化为“存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞M”,求出f(x)max=N,再根据“对任意x2∈[0,2],N＞g(x2)”进行求解。