函数y=Asin（ωx+φ）+h的单调性以及在给定区间上的最值的教学法探究

广东省珠海市第二中学 谢 锋

三角函数是高中阶段学习的一种比较特殊的函数，也是基本初等函数之一，教材专门设立一章进行学习，其重要性不言而喻。在教学中，需要呈现几类基础问题：（1）研究三角函数必须在定义域内进行，求定义域、值域；（2）求单调区间；（3）奇偶性、周期性。而在这些常规问题教学中，学生最容易出现混淆的就是求单调区间与定区间值域的问题。

一、问题的提出

在三角函数的教学中，讨论函数（通常A＞0，ω＜0，以下同）的单调性以及该函数在给定区间上的最值，是两个基本的教学课题，很多学生都有出现相同的“障碍”。

1．“障碍”的界定

解决单调区间和求值域用“换元法”。设X=ωx+φ，则y=AsinX+h，由即函数的单调递增区间为

由x∈[a，b]有X∈[ωa+φ，ωb+φ]，依据函数y=AsinX+h（X∈[ωa+φ，ωb+φ]）求得 y的最值。

不难看出，在上面两种处理中，存在两个相反的过程：前者由X的范围求得x的范围，即函数的单调区间；后者由x的范围求得X的范围。在与学生交流和答疑的时候经常发现，无论怎么讲解，大部分学生始终无法理解，解决这两类问题为什么是相反的过程，而且就是那么解？

2．“教学法”的界定

函数的单调性以及该函数在给定区间上的最值，也可称为两个数学问题。上面的解决方法学生可以从教材或参考书籍上看到，甚至通过自学掌握。鉴于学生的学习主要还是通过老师、课堂这样的渠道，或者说通过教学习得，所以对上面两个数学问题的处理，我们不叫“解题方法”，而称为“教学法”。此处的“教学法”是一个整体性的概念，一个我们研究的对象。（为了研究，我们约定不管是经验丰富的还是经验欠缺的教师，采用本“教学法”理论上的效果相同）

二、教学探究

解：由y=sinx的对称中心是（kπ，0），对称轴是

增区间是减区间是得：的对称中心是对称轴是增区间是减区间是

该教学法的简单评价：我们在教学过程中并不需要画出的图象，再对此类问题进行研究，而是回归本源，我们从y=sinx 的图象出发，去探究y=sinx的图象所显示出的函数性质，再通过换元求解。

例2 已知函数求函数的最大值和最小值。

解法1：由函数在区间上递减，

所以函数上递增，

即函数在[0,2π]上递增，在区间[-π，0]上递减，

所以当取得最小值1，

又当当x=2π时，

所以取得最大值

解法2：令

所以

根据f（x）=cosX的函数图象，

当

当

该教学法的简单评价：求函数在给定区间上的最值，在“导数的应用”部分讨论得比较多，本教学法与“用导数求函数在给定区间上的最值”的教学法相同，换句话说，用教学法一更能凸显教学法的通用性质。但是在本题的教学中，解法2我们仍然可以通过换元法来解决，即令将问题转化，再求f（x）=cosX，的值域。而此题在教学中更加注意强调：切不可将区间的端点直接代入确定范围。已知自变量的范围求三角函数值域，关键是整体代换思想的应用，所以本题的换元法更加让学生容易理解。三角函数的图象从“形”的角度完全反映了三角函数的性质，所以在解决此类问题时应该注意对图象的应用。

补充练习：

1.求函数的单调递增区间。

2.求函数的单调区间。

3.求函数的最大值和最小值。

4.已知函数f(x)的定义域为[-1,3]，求函数y=f（3x-2）的定义域。

解：1.设则y=sinX，

解得

所以，函数的单调递增区间为

2.在习题1的基础上求解解得单调区间

3.设则y=2sinX，

因为

由函数y=2sinX的图象知，当函数取得最大值2，

当函数取得最小值-1。

4.令t=3x-2，由-1≤t≤3有-3≤3x-2≤3，故y=f(3x-2)的定义域为

点评：4个习题的解法都有很明确的指向性：应用换元法，虽然仍然摆脱不了解题过程互逆，学生容易混淆的问题，但是我们应该明确：学生并不是因为方法相近而混淆，而是没有抓住解题的主线而混淆，所以在教学过程中我们建议：以一种方法、一个习题作为突破口，这样既可以加深对比，又可以使得一节课主线清晰，重点明确。为了彰显换元法在三角函数中的重要作用，我们不妨再看一道题目：

例3 求函数

分析：本题最常规有3种解法：

（1）直接法：直接利用sinx，cosx有界性求解。

（2）化一法：把三角函数化为t=Asin（ωx+φ）的形式，逐步分析ωx+φ的范围，由正弦函数或余弦函数的单调性写出函数的值域。

（3）换元法：把sinx，cosx，sinxcosx换成t，转化成普通的函数问题。

本题的解析我们将着重分析换元法：

换元法1：（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx,sinx则转化为在定区间求值域的问题。

换元法 2：设 sinx=m+n，sinxcosx=2m，sinxcosx=m2-n2，由

点评：求值域是三角函数很常见也很基础的一类问题，和前面的例题看似没有共性，但是在解题过程当中都是紧扣换元法，在换元中要注意对变量范围的控制。同时，两种换元法是不同的，一种是以sinx+cosx和sinxcosx的关系作为主线，进行平方换元再定界，而换元法2是以sinx，cosx进行巧妙换元，这和求不等式范围的一类习题方法非常相似。

四、结论和讨论

事实上，从初中到高中，学生要学习一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等七种基本初等函数，都会经历从基本初等函数y=f（x）的图象与性质扩展到函数y=f（ωx+φ）的图象与性质的过程。由前面的讨论，有两种不同的“路径”：（1）利用图象的平移、伸缩得到函数y=f（ωx+φ）的图象，再依据图象讨论其性质，不妨称之为“前进的构造方式”；（2）令X=ωx+φ，则y=f（x），依据函数y=f（x）的图象与性质，得到函数y=f（ωx+φ）的性质，不妨称之为“后退的归一方式”。

前面的讨论说明，就“前进的构造方式”而言，部分学生会出现“障碍”。从教学法的角度，这即是说存在两种不同的“教学法”。此外，综合前面的讨论，笔者在此提出一个概念：教学法的障碍。也就是说，学习者在学习的过程中出现的各种障碍，除了自身认知的原因，教学法也是一个重要的因素。因此，正如Nicolas Balachrff在《数学教育心理学研究展望》中所说的：如果不对有关数学概念的构成做深刻的认知论分析，那么有关代数、几何、微积分学习的研究不可能得到深入（《国际展望：数学教育评价研究》）。仿此可以说：如果不对数学的教学法做切实的研究，那么有关代数、几何、微积分学习的研究不可能得到深入。“正如经常表明的那样，许多学生不是通过所要求的数学推理，而是通过教学法的习惯来解一个题目，因此，只要学生知识建构的真正含义尚未解决，那么关于教学法的任务和它与学习过程的关系的研究就是非常困难。”

从我们实际的教学角度讲，如何让学生突破本篇文章所讨论的教学难点，本人认为，通过一点集中突破,即紧紧抓住正余弦函数图象，从图象出发研究性质，解决问题，同时配合一种解题方法（换元法）进行讲解，既有针对性，又有课外的延展性，学生在对比中学会思考，在思考中学会类比，进而解决本文章所提出的教师的困惑和学生的迷惘。