巧设直线，妙解方程

■刘金金

我们在解答直线问题时，若能通过巧设直线，则可以简化运算，妙解方程。下面分门别类地介绍一下，希望对同学们的学习能有所帮助。

一、斜率问题

当直线l与x轴不垂直时，此时直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+b或y-y0=k(x-x0)(其中k为直线l的斜率);当不能确定直线l的斜率是否存在时，可设直线l的方程为x=my+n或x-x0=m(y-y0)。

例1经过两直线l1∶x-3y-5=0与l2∶4x+3y-5=0的交点，且和点A(-2，1)的距离为4的直线l的方程为

由{x-3y-5=0，解得4x+3y-5=0，{x =2， 可知直线l过点B(2，-1)。设直y=-1，线l的方程为x-2=m(y+1)，得x-my-2-m=0，由点A(-2，1)到直线l的距离为4，可得，解得m=0或所以直线l的方程为x-2=0或3x-4y-10=0。

利用直线的点斜式或斜截式方程时，一定要分析其斜率是否存在。当斜率不为零时，往往不设直线的点斜式或斜截式方程，而直接设为x=my+n或x-x0=m(y-y0)，这样可以避免斜率存在性的讨论。

二、截距问题

用直线的斜截式方程往往可以直接确定直线与x轴和y轴的交点坐标，或解决与截距有关的问题，或解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长问题等。但以下两种情况不能使用斜截式方程，一是当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在;二是当直线通过原点时，两个截距均为零。所以大家在解决问题的过程中一定要注意分类讨论。

例2 求过点A(4，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程。

①当直线l过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意，此时直线的斜率为，直线方程为

如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“截距的绝对值相等”，或“直线在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用直线的斜截式方程求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况。

三、平行问题

当所求直线与已知直线平行时，可根据斜率相等设出所求直线的点斜式方程。而在实际求解过程中，可巧妙设出平行直线系方程来求解，具体方法是∶设平行于已知直线Ax+By+C=0(A，B不同时为零)的直线系方程为Ax+By+D=0(D是参数，D≠C)。

例3已知直线l与直线2x-3y=6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，则直线l的方程为

解答此类问题时，可直接设出对应的平行直线系方程，结合直线在两坐标轴上的截距的求解来建立关系式，进而确定参数值，求得相应的直线方程。巧设平行直线系方程，能直接抓住两直线平行的特点，结合相关条件加以分析求解，显得更为简单快捷。

四、垂直问题

当所求直线与已知直线垂直时，可先根据斜率关系设出所求直线的点斜式方程，再去求解。而在实际求解过程中，可巧妙设出垂直直线系方程，具体方法是∶设垂直于已知直线Ax+By+C=0(A，B不同时为零)的直线系方程为Bx-Ay+E=0(E是参数)。

例4已知直线l的方程为2x-3y-6=0，求满足下列条件的直线l'的方程∶

(1)过点P(-1，2)，且与直线l平行。

(2)过点P(-1，2)，且与直线l垂直。

(1)由直线l'与l平行，可设直线l'的方程为2x-3y+m=0，将点P(-1，2)代入上述方程，解得m=8，故直线l'的方程为2x-3y+8=0。

(2)由直线l'与l垂直，可设直线l'的方程为3x+2y+n=0，将点P(-1，2)代入上述方程，解得n=-1，故直线l'的方程为3x+2y-1=0。

解答这类问题的常规方法是先根据两直线平行或垂直的关系确定所求直线的斜率，再利用点斜式方程来求解，解题过程相对比较复杂。而巧设平行或垂直直线系方程，能直接抓住两直线平行或垂直的特点，结合相关条件加以分析求解，显得更为有效快捷。

五、交点问题

当所求直线过两条已知直线的交点时，先求出交点，再去求解方程。而在实际求解过程中，可巧妙设出交点的直线系方程，具体方法是∶设过两条已知直线l1∶A1x+B1y+C1=0和l2∶A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ是参数，当λ=0时，方程变为A1x+B1y+C1=0，恰好表示直线l1;当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l1和l2的任一条直线)。

例5已知三角形三边所在的直线方程分别为∶2x-y+4=0，x+y-7=0，2x-7y-14=0，则边2x-y+4=0上的高所在的直线方程为

设边2x-y+4=0上的高所在的直线方程为2x-7y-14+λ(x+y-7)=0，即(2+λ)x+(λ-7)y-(14+7λ)=0，而其与直线2x-y+4=0垂直，故有(2+λ)×2+(λ-7)×(-1)=0，解得λ=-11。故边2x-y+4=0上的高所在的直线方程为x+2y-7=0。

解答这类问题的常见方法是先求出直线x+y-7=0和直线2x-7y-14=0的交点，再根据所求直线与直线2x-y+4=0垂直来求解。而直接设出交点的直线系方程，可以大大简化求解两直线交点时的运算问题。

六、定点问题

当所求直线过定点时，可根据斜率的存在情况分类去求解直线方程。而在实际求解过程中，可巧妙设出定点的直线系方程，具体方法是∶设过定点P(x0，y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0。

例6 求过点A(-4，2)且与x轴的交点到点P(1，0)的距离为3的直线方程。

设所求直线方程为A(x+4)+B(y-2)=0，则其与x轴的交点为Q，由 |PQ|=解得或，即B=A或B=4A，代入所设直线方程并整理，即得所求的直线方程为x+y+2=0或x+4y-4=0。

巧设定点的直线系方程，可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，避免分类讨论，有效防止出现漏解或错解的现象。