小议直线的截距问题

■张金娥

直线的截距有横截距和纵截距，横截距是直线与x轴交点的横坐标，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标。截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数，还可以是零。

题型一：截距相等的问题

例1过点M(3，-4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为

解：①若直线过原点，则，所以，即4x+3y=0。②若直线不过原点，设直线方程为1，即x+y=a，则a=3+(-4)=-1，所以直线方程为x+y+1=0。

综上可得，满足条件的直线方程为4x+3y=0或x+y+1=0。

评析:若忽视直线过原点(即直线在坐标轴上的截距为0)，则容易产生漏解。

题型二：截距之和为0的问题

例2求过点A(4，2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程。

解：①当直线过原点时，直线方程为y=，即x-2y=0。②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为，因为直线过点A(4，2)，所以，即a=2，则xy=2。

综上可知，所求直线l的方程为x-2y=0或x-y=2。

评析:解答本题的关键是不能忽视直线过原点的情况。

题型三：截距成倍数的问题

例3已知直线l过点A(4，2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程。

解：①当直线过原点时，直线方程为，即x-2y=0。②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为，因为直线过点A(4，2)，所以1，解得可得直线方程为x+3y-10=0。

综上可知，所求直线l的方程为x-2y=0或x+3y-10=0。

评析:直线方程的截距式不包括垂直于坐标轴和过原点的直线。

题型四：截距之和是定值的问题

例4求过点A(4，2)且在两坐标轴上的截距之和为12的直线l的方程。

解：设直线l的方程为b≠0)。由题意可得

由①得4b+2a=ab，由②得b=12-a，所以4(12-a)+2a=a(12-a)，即a2-14a+48=0，解得a=6或a=8，所以

故所求直线l的方程为x+y-6=0或x+2y-2=0。

评析:如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况。