非学不可的代数法

方常春

困惑：有了数形结合的利器，我就可以偷懒了吗？

当我们在求解直线与圆的位置关系的相关问题时，利用代数法求解，往往使得我们的运算量大大增加，运算的难度也犹如重重险山，不可逾越，

這时，大部分老师都会告诉你，其实从几何的角度去思考，利用圆心到直线的距离来分析问题更加简单易行，这是聪明人的选择！

但是不知道同学们有没有过类似的困惑，课本的例题为什么非要向我们展示代数法呢？课本就不嫌麻烦？

针对这些疑问，我想谈谈我的看法，

代数法的真意：提升运算能力、强化模式解题、增强学习信心——有道理吗？

我们学习解析几何，才刚上手，最重要的当然是熟悉这种新知识的运用，悟通其化几何为代数的神奇能力.而几何问题代数化，就是其最根本的特征，有数学家说，几何的根本出路是几何问题代数化，在不久的将来，我们学习圆锥曲线后，你会发现今天学习的几何法有时不灵验了，而代数法却能大行其道.这正是解析几何的魅力所在.

如果今天就因为代数法计算繁复而弃之不用，那么我们的根基就不会牢靠.到了某一阶段你会发现，代数法天天在你面前晃悠，你想避都避不开，而且，你失去了平常心，怀揣着一种担心运算不过关的心态，数学怎么能学得好？小聪明还是大智慧，由你来选择.

所以，我们在面对直线与圆的位置关系的问题时，要有清醒的认识——利用平面几何的知识简化我们的运算是可行的，对解题方法的多样性培养很有帮助，但是，基础不可放松！所以，如果有可能，还是需要同学们在空闲时间，多了解一些代数法，做题时多思考一些方法，并加以比较优化，相互印证，比如，哪种方法更简捷，哪种方法更具一般性，适应范围更广？

繁复的运算是我们最大的敌人之一，狭路相逢勇者胜！不要老想着逃避，关键时刻，拼的就是勇气与信念，就是细心和耐心！

遇到难关：坚定自己的信念，一举攻破！

下面，我们熟悉一下利用代数法处理直线与圆位置关系的问题的一般步骤：

通过联立直线与圆的方程，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即△>O，则相交;若有两组相同的实数解，即△=0，则相切;若无实数解，即△

联立方程组，整理出关于x的一元二次方程最为关键，一旦出错，将前功尽弃！因为后面的一切运算都是建立在这一方程的基础之上的，之后我们就将面临最为繁复的运算，这也是难关所在！考验的无非是我们的细心程度.

我们就以下面一题为例，并以代数法求解，

分析 斜率的存在与否要考虑全面，不可遗漏.

【记住这一系列变换，它很重要，也很实用】

将③式代人，解得k=3/4.【说得简单，但恰恰是最困难的一步，最为考验你的运算能力】

代人②可知△>O成立，此时直线的方程为3x-4y+20=0.

当k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所以所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

当然，此题如果利用几何性质解题，就简单得多了，请你自己试着做一做，但你想过没有，如果不是圆，换成抛物线，或其他曲线，这个方法还有效吗？

例如，已知直线y=x+b与抛物线y=x²相交于A，B两点，若AB=4，求b的值.就不得不用上述的代数法了.

所以不要认为代数法很没用、太繁琐，也不要因为你现在能快速解一两道题就沾沾自喜，要时刻牢记，你是在学习一种全新的数学知识和普遍的方法.要懂得打基础的重要性，慢慢来，磨刀不误砍柴工，总会有化拙为巧，化腐朽为神奇的一天！