带电粒子在有界磁场中的运动分析及求解

广东 古焕标

有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场。带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的题型既要用到物理中的洛伦兹力、牛顿第二定律及圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何、三角函数的知识，题型综合性强，是高中物理考试命题的常见题型，也是高考的高频考点和考查重点。所以无论是高考一轮复习还是二轮复习，这部分内容都应该作为复习重点。本文针对有界匀强磁场边界的特点和涉及的临界情况，分类归纳带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的一般解题思路与方法，以供学生学习参考。

一、解题思路

带电粒子垂直进入有界匀强磁场，若仅受洛伦兹力作用时，粒子将做匀速圆周运动。由于边界磁场的形状不同，使得边界条件和临界条件就不尽相同，但此类题型终归是属于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，所以处理这类题型的一般解题思路是定圆心、画轨迹、找半径、求时间。

1.定圆心：若已知带电粒子运动轨迹上的两个特殊点(射入和射出磁场时的两点)，过这两点作带电粒子运动方向的垂线(这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向)，则两垂线的交点就是圆心；若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心。

2.画轨迹：根据题目所给条件和圆心位置，画出带电粒子在磁场中运动的轨迹图，这是解题的关键步骤。

二、边界磁场的分类与解题策略

按照有界磁场的形状来分，有界磁场可分为单直线边界磁场、三角形边界磁场、圆形边界磁场等类型。解决带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的一般方法是弄清有界磁场边界的特点和涉及的临界情况，确定圆弧轨迹的圆心位置，准确画出运动轨迹图(或动态轨迹图)，灵活运用数学知识和物理规律，找到已知量与轨迹半径R、周期T的关系来求解。

1．单直线边界磁场(1条边界线)

【例1】(2016·全国卷Ⅰ)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的粒子，其示意图如图1所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为

( )

图1

A．11 B．12 C．121 D．144

【答案】D

【感悟】本小题存在大量需要自设符号的物理量，在平时物理教学中，应加强学生自设符号规范性的训练。解答本题的关键是明确带电粒子垂直于磁场边界进入磁场，其运动轨迹一定为半圆，洛伦兹力提供向心力，一价正离子的运动半径与质子的运动半径相等，结合动能定理即可求解。

2．平行双直线边界磁场(2条边界线)

【解题策略】平行双直线边界磁场题型中常存在临界约束条件问题，找到相应的临界状态(通常带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切是刚好穿出或刚好穿不出磁场边界的约束临界条件)，画出临界运动轨迹图，是解题的突破口。当带电粒子进入平行双直线边界磁场时，在确定出符合题意的临界约束条件后，画出包括圆心、半径、轨迹、弦线、回旋角的运动情境图，运用几何关系来确定半径，根据圆心角来确定时间。

(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

【解析】(1)粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过，作OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，如图3甲所示，根据直角三角形有

则粒子做圆周运动的圆心角为120°，周期T=3t0

(2)仍在磁场中的粒子运动的圆心角必大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出，圆心角为120°，所经过圆弧的弦与图3乙中相等，穿出点如图3乙所示，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此粒子初速度与y轴的正方向的夹角α是60°；粒子角度最大时从磁场左边界穿出，如图3丙所示，半径与x轴负方向的夹角是60°，则此粒子初速度与y轴的正方向的夹角β是120°，所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°。

【感悟】处理带电粒子在平行双直线边界磁场中运动的题型时，关键是要掌握如何定圆心、画轨迹图，利用圆的几何知识确定轨迹半径，把物理知识和有关圆的几何知识结合起来解决物理问题，同时还要确定出符合题意的临界约束条件，其中带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切往往是刚好穿出或刚好穿不出磁场边界的约束条件。

3．三角形边界磁场(3条边界线)

【解题策略】解答三角形边界磁场的题型时，首先要弄清边界条件和临界条件，通常轨迹与边界相切是带电粒子在磁场区域运动的临界约束条件。三角形边界磁场问题包括带电粒子沿某个直线边界射入磁场或与某个直线边界成某一角度射入磁场，粒子从另一磁场边界射出，在考虑到临界约束条件的情况下，可仿照直线边界题型处理。

( )

A．当θ=45°时，粒子将从AC边射出

B．所有从OA边射出的粒子在磁场中运动时间相等

C．随着θ角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小

D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出

【答案】AD

【感悟】本题中，根据三角形边界磁场的边角关系，结合临界约束条件，确定粒子运动的圆心位置，画出运动轨迹图，利用数学知识和物理规律确定半径。当粒子速度大小一定时，弧长(或弦长)越长，对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间就越长。此类题型能很好地考查学生的思维能力与空间想象力。

4．矩形边界磁场(4条边界线)

【解题策略】带电粒子从边界进入矩形(正方形或长方形)边界磁场中运动，若从原边界射出，可仿照单直线边界磁场题型处理；若从对面边界射出，可仿照平行双直线边界磁场问题处理；若从其他边界射出，可先确定带电粒子运动的圆心位置，画出运动轨迹图(或动态轨迹图)，然后运用几何关系和物理规律求得半径和运动时间。

【例4】(2016·枣庄高三期末)如图5所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子(带电粒子重力不计)，恰好从e点射出，则

( )

A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出

B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出

C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出

D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从e点射出所用时间最短

【答案】A

5．正六边形边界磁场(6条边界线)

【解题策略】带电粒子从边界进入正六边形边界磁场中运动，根据粒子的速度方向找出半径方向，由磁场边界和题设条件寻找临界约束条件，确定临界状态，画出粒子做圆周运动的轨迹图、确定圆心位置，再充分利用几何关系找出运动轨迹所对应的圆心角，求出粒子做圆周运动的半径和时间，使问题得以解决。

【例5】(2016·四川卷)如图7所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc。不计粒子重力，则

( )

图7

A．vb∶vc=1∶2，tb∶tc=2∶1

B．vb∶vc=2∶1，tb∶tc=1∶2

C．vb∶vc=2∶1，tb∶tc=2∶1

D．vb∶vc=1∶2，tb∶tc=1∶2

图8

【答案】A

【感悟】本题考查带电粒子在正六边形边界磁场中的运动题型，意在考查应用磁场对运动电荷的作用规律解决问题的能力。本题解题的关键是要结合边界临界条件，确定粒子做圆周运动的圆心，由几何关系求出粒子做圆周运动的半径以及运动轨迹所对应的圆心角(或运动时间)。

6．圆形边界磁场

【解题策略】在求解带电粒子在圆形边界磁场中的运动题型时，首先由题中条件确定粒子在磁场中运动的入射或出射位置，画出粒子的运动轨迹图。若粒子沿磁场半径方向进入磁场，则粒子必定还沿半径方向离开磁场；若入射粒子不对准圆心射入磁场，当圆形磁场的半径R与圆周运动的轨道半径r相同时，则可考虑将两个圆心(磁场圆心O、轨迹圆心O′)、两个点(入射点、出射点)构成菱形，当圆形磁场的半径R与圆周运动的轨道半径r不相同时，则可考虑将两个圆心(磁场圆心O、轨迹圆心O′)、两个点(入射点、出射点)构成两个全等三角形。然后由几何关系和三角函数知识确定带电粒子的轨迹半径或轨迹圆弧所对应的圆心角θ，根据圆周运动知识确定粒子在磁场中的运动周期、运动时间、速度等物理量。

【例6】(2016·全国卷Ⅱ)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒轴平行，筒的横截面如图9所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN方向夹角为30°。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为

( )

图9

图10

【答案】A

7．环形边界磁场

【解题策略】匀强磁场边界为环形时，寻找带电粒子运转半径和中空磁场的边界因素(磁场边界或磁场半径)仍是解题的中心环节，解题可仿照圆形边界磁场题型处理。另外，巧妙运用时、空间对称性和周期性可有效突破空间思维障碍。

图11

(1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；

据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图12乙所示，根据对称可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α，由几何关系得，θ1=120°，θ2=180°，α=60°

粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图12丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1，t2，可得

设粒子运动的路程为s，由运动学公式得

s=v(t1+t2)

解得s=5.5πD。

图12

【感悟】本题中带电粒子沿H点紧靠大圆内侧射入磁场，依题意知粒子运动轨迹与小圆相切是临界约束条件，从而作出带电粒子运动轨迹图，根据几何关系计算半径，根据圆心角确定时间。另外，灵活运用时、空间对称性和周期性是处理复杂问题的巧妙方法。