浅析带电粒子在电场中的运动问题

浙江 成金德

带电粒子在电场中的运动是电场部分的重要内容之一，此类问题常与力学知识相结合，是一类综合性较强的物理问题，因此，带电粒子在电场中运动的问题是高考的热点问题，本文就如何有效解答此类问题做粗浅的分析和探讨。

一、抓住两条主线

二、认清三种粒子

1.基本粒子。如电子、质子、α粒子、离子等，由于基本粒子受到的电场力远比重力大，因此，基本粒子的重力常常忽略不计；

2.一般粒子。如带电油滴、带电尘埃、带电小球等，由于这些带电粒子的重力比较大，其重力一般不能忽略；

3.带电粒子。在有些问题中涉及的带电粒子，是否要考虑重力的作用并不十分明确，求解时要根据题意进行仔细分析，若带电粒子受到的电场力远大于重力时，则可以将重力忽略不计，否则应考虑重力的作用。

三、掌握二个方法

1.类比法。由于电场力与重力一样，都是恒力，且做功的特点也相似，做功只与始末位置有关，与实际通过的路径无关。因此，带电粒子只在电场力作用下的运动常与物体只在重力作用下的运动相类比。如电场中的类平抛运动与重力场中的平抛运动相类比，带电粒子在水平方向的匀强电场中的振动可与重力场中的单摆相类比等。

2.整体法。由于电荷间的作用是相互的，若把电荷系统取为研究对象，则可不必考虑电荷间的相互作用，使问题得到简化。因为电场力做功与路径无关，在求解与能量变化有关的问题时可取整个过程进行研究，有时也将使问题大为简化，从而可迅速确立解题方案。

四、理顺三条思路

带电粒子在电场中运动的问题往往与力学的知识紧密联系，可以说是一类增加了电场力后的“准力学问题”，可谓电学搭台力学唱戏，因此，分析和求解的方法与处理力学问题基本一致。解题时可选用的物理规律有：牛顿运动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律和能量守恒定律等，具体的解题思路有三条：

1.若带电粒子受到的是恒力，可选用牛顿运动定律，也可选用动量定理或动能定理求解；

2.若带电粒子所受的合力是变力，一般应选用动量定理、动能定理和能量守恒定律求解；

3.若带电粒子不止一个，涉及粒子间相互作用的问题，一般要选用动量守恒定律和能量守恒定律求解。

五、熟悉五种题型

1.平衡(静止或匀速直线运动)问题

带电粒子受到的电场力与其他力的合力为零时，带电粒子处于平衡状态。求解的依据是平衡条件，即合外力等于零。常用的方法有合成法、正交分解法、整体法和隔离法等。

【例1】如图1，用长为0.3 m的细线将质量为4×10-3kg的带电小球P悬挂在O点，当空中有方向为水平向右，大小为 1×104N/C的匀强电场时，小球偏转θ=37°后处于静止状态。g取10 N/kg，求：

图1

(1)小球所带的电荷量；

(2)细线的拉力。

【解析】取小球为研究对象，小球受重力mg、电场力qE和细线的拉力F的作用。由于小球处于平衡状态，则电场力的方向应水平向右，因此，小球带正电。将F沿水平和竖直两个方向分解，根据平衡条件得

在水平方向Fsinθ=qE

在竖直方向Fcosθ=mg

解以上两式得q=3×10-6C，F=5×10-2N。

2.带电粒子在电场中做直线运动

(1)匀变速直线运动

带电粒子受到的电场力和其他力的合力的方向与速度方向在同一直线上时，且合力是恒力，则带电粒子在电场中将做匀变速直线运动。求解时常用牛顿运动定律、动能定理和动量定理等规律。

【例2】如图2所示，一平行板电容器板长L=4 cm，板间距离为d=3 cm，倾斜放置，使板面与水平方向成θ=37°。若两板间所加电压U=100 V，一带电荷量为q=3×10-10C的负电荷以v0=0.5 m/s的速度自A板左边缘水平进入电场，在电场中沿水平方向运动，并恰好从B板右边缘水平飞出，g取10 N/kg，则带电粒子从电场中飞出时的速度为多大？

图2

【解析】取负电荷为研究对象，由于它做直线运动，则它除了受到电场力作用外，它所受的重力不可忽略，且电场力和重力的合力应与初速度方向同向，如图3所示。

图3

在竖直方向Eq·cosθ=mg

在水平方向F合=Eq·sinθ=ma

解以上五式得v=1 m/s。

(2)非匀变速直线运动

带电粒子受到的电场力和其他力的合力的方向与初速度方向在同一直线上，且合力的大小发生变化，则带电粒子将做非匀变速直线运动。求解时常用动能定理和能量守恒定律等物理规律。

【例3】如图4所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC长为2L，处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q。一个质量为m，电荷量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v0，则该质点运动到非常接近斜边底端C点时的速度vC为多少？

图4

【解析】取质点为研究对象，它受到电场力F(正电荷施加的)、重力mg和弹力FN三个力的作用。由于F和FN是变力，因此，质点做变加速运动。

由于D点和C点是等电势点，质点从D点运动到C点的过程中，电场力做功等于零。由动能定理得

3.带电粒子在电场中做曲线运动

(1)类平抛运动(偏转问题)

带电粒子仅受电场力作用，电场力的大小恒定，且方向与初速度方向垂直时，带电粒子将在电场中做类平抛运动。求解时常用运动的独立性原理。

图5

【解析】带电粒子在匀强电场中仅受电场力的作用，且电场力的方向与初速度方向垂直，则带电粒子做类平抛运动

在水平方向L=v0·t

由牛顿第二定律得Eq=ma

带电粒子离开电场后做匀速直线运动，由几何关系得

(2)一般的曲线运动

带电粒子在电场中受电场力和其他力的作用，当合力的方向与初速度方向成一般的角度时，带电粒子将在电场中做一般的曲线运动。若带电粒子所受的合力是恒力时，求解时一般采用运动的独立性原理，即对两个分运动分别进行研究，并建立方程。若合力是变力时，则需应用动能定理或能量守恒定律求解。

【例5】如图6所示，两平行金属板A、B竖直放置，极间距离为d，板长为L，极间电压为U，两极间中线上方有P、Q两点，距离为h。P点有一质量为m，带电荷量为q的带电粒子，从静止开始下落，求：

(1)粒子通过金属板的时间；

(2)粒子通过电场后的水平速度。

图6

【解析】(1)带电粒子从P点运动到Q点过程中做自由落体运动，设粒子在Q点的速度为v0，由机械能守恒定律得

带电粒子在电场中运动时，受到重力和电场力的作用，因此，在竖直方向带电粒子的加速度为g，则由运动学公式得

vy-v0=gt

(2)在水平方向，粒子受电场力作用，由牛顿第二定律得

qE=ma

由运动学公式得vx=at

(3)圆周运动

带电粒子在电场力和其他力的作用下，沿某一圆周运动。求解此类问题需应用动能定理、能量守恒定律和相关的圆周运动知识。

【例6】如图7所示，AB是放在电场强度为E的水平匀强电场中的绝缘光滑水平轨道，BCD是半径为R绝缘光滑的半圆环竖直轨道，C点为BD弧的中点。AB长为s，一质量为m、带电荷量为q的小球由静止开始在电场力作用下自A点沿轨道运动，求：

(1)它运动到C点时速度是多大；

(2)此时它对轨道的压力是多大？

图7

【解析】(1)取小球为研究对象，小球从A点运动到C点的过程中，电场力做正功，重力做负功。由动能定理得

(2)由圆周运动知识可知，小球在C点时，受到的轨道对它的弹力FN与电场力的合力提供向心力，即

4.带电粒子在电场中的振动

带电粒子在电场力和其他力的作用下，若所受的合力满足回复力的条件，则带电粒子在电场中将做机械振动。求解时需应用牛顿运动定律、动能定理及振动的相关知识。

【例7】如图8所示，一长为L的细线，上端固定在O点，下端有一质量为m的小球，将它们置于一个足够大的匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平向右，已知当细线离开竖直位置的偏角为θ时，小球处于平衡状态。如果使细线的偏角由θ增大到θ+α，且使α小于5°，然后将小球由静止开始释放，则小球运动的周期为多大？

图8

【解析】取小球为研究对象，小球受到电场力和重力的作用，将重力场和电场合二为一等效为复合场，则复合场的作用力为：

小球在此复合场中将做简谐运动，可与单摆相类比，P点为平衡位置，最大摆角为α，如图9所示，则小球运动的周期为

图9

5.带电粒子在交变电场中的运动

当在两平行金属板间加交变电压时，在两板间就产生一个交变电场，这个电场从空间上看是匀强电场，即在同一时刻电场中各处的电场强度是相同的；从时间上看是变化的，即在不同的时刻电场强度是不同的。带电粒子在交变电场中运动时，若仅受电场力的作用，则带电粒子常见的运动有：直线运动、曲线运动和振动等。研究此类问题的关键在于根据受力特点，确定运动特征。一般选用牛顿第二定律和运动学规律求解。

【例8】如图10所示，长为L、相距为d的两平行金属板与一交流电源相连(图中未画出)，有一质量为m、带电荷量为q的带负电的粒子以初速度v0从板中央水平射入电场，从飞入时刻算起，A、B板间所加电压的变化规律如图10所示，为了使带电粒子离开电场时速度方向恰好平行于金属板，重力的影响可不计。则：

(1)交变电压周期T应满足什么条件？

(2)加速电压值U0的取值范围多大。

图10

【解析】(1)带电粒子射入电场后，由于仅受电场力的作用，沿着金属板方向做匀速直线运动，即有L=v0·t

带电粒子沿垂直于金属板方向做交替的匀加速运动和匀减速运动，由对称性可知，经过一个周期时，带电粒子沿垂直于金属板方向的末速度仍为零。因此，要使带电粒子离开电场时速度方向恰好平行于金属板，则带电粒子运动的时间必须满足

t=NT(N=1，2…)

(2)带电粒子沿垂直于金属板方向在半个周期内通过的位移为

使带电粒子能离开金属板(不与板碰撞)，则带电粒子沿垂直于金属板方向的位移应满足如下条件