例析克服安培力做功与能量转化的普适性规律

贵州 陈 海

文章以电磁感应中“双杆问题”为背景分析了安培力做功与能量转化的关系，指出应用二级结论“克服安培力做功等于回路产生的总焦耳热”处理问题时要注意适用条件，推导出电磁感应中克服安培力做功与能量转换关系的普适性方程，得出了普适性的规律。

一、原题再现

【例1】如图1所示，质量均为m的物体A、B之间用劲度系数为k的轻弹簧连接，静止于倾角为θ的光滑斜面上，物体A与挡板接触而不粘连，物体R用平行于斜面的轻质细线绕过光滑的滑轮与水平导轨上的金属杆ab连接。金属杆ab、cd的质量都为m0，电阻都为R。金属杆长度及导轨的宽度均为L，金属杆与导轨的接触良好，水平导轨足够长且光滑，电阻不计，导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场(图中未画出)磁感应强度为B。开始时整个系统处于静止状态，与杆连接的细线水平，细线刚好拉直而无作用力。现用恒定的水平力作用于cd杆的中点，使杆cd由静止开始向右运动，当杆cd开始匀速运动时，物体A恰好与挡板间无弹力。从cd杆开始运动到匀速运动过程中，cd杆产生的焦耳热为Q，求：水平恒力做的功W为多大。

图1

【错解】对cd杆，当开始匀速运动时，由二力平衡可得F=F安=2mgsinθ①

由安培力的定义可知

F安=BIL②

对cd杆，从静止到当开始匀速运动的过程中，由动能定理得

根据安培力做功与能量转换关系可知克服安培力做功

W克=2Q⑤

由①②③④⑤可得

二、问题提出

青年教师和学生在处理本题时，容易得出上述的答案，上述解析过程看似严谨，实则错误。反思错因，在教学中要注意以下两个问题。第一是在④式中，要注意应用“动能定理”时研究对象与内容的表达。第二是在⑤式中，要注意二级结论“克服安培力做功等于回路产生的总焦耳热”的适用条件。同时提出了物理问题的解决要通过科学探究来揭示科学本质，才能突破教学中的难点和消除教学中的疑点。为弄清楚问题本质，可换用另一种解法，通过对比来揭示其中的规律。

三、正确解法

对ab、cd杆及物体与弹簧组成的系统，从cd杆静止到当开始匀速运动的过程中，由功能关系得

由题意知，此过程中弹簧的压缩量等于伸长量，弹性势能没有变化，物体B沿斜面运动的距离为

由①②③⑦⑧可得

四、结论推导

由④式和⑦式可得，克服安培力做功为W克=2Q+mglsinθ，故⑤式W克=2Q是错的。因此必须对二级结论“克服安培力做功等于回路产生的总焦耳热”重新认识，下面通过例2的具体分析来寻找普适性的规律。

【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间距为l。导轨上面横放着两根导体棒PQ和MN，构成矩形回路。导体棒PQ的质量为m、MN的质量为2m，两者的电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒MN静止在导轨上，PQ棒以大小为v0的初速度从导轨左端开始向右运动，如图2所示。忽略回路的电流对磁场产生的影响。

图2

从初始至两棒达到速度相同的过程中。试分析：(1)整个过程中产生的总热量是多少。(2)克服安培力所做的功是多少。(3)电能转化为其他形式的能是多少。

【解析】对棒PQ和MN，从开始到速度相同时，由动量守恒定律得

mv0=(m+2m)v

对棒PQ和MN组成的系统，从开始到速度相同过程中能量守恒则

对棒PQ，从开始到速度相同时，由动能定理得

对棒MN，从开始到速度相同时，有

五、教学启示

1.在④式中，对cd杆用动能定理，只要对克服安培力做功利用“普适性方程”求解，得出的结果就不会错。若对ab、cd杆组成的系统用动能定理和对ab及物体组成的系统用动能定理，也可以得出正确的结果，只是解题过程比较繁琐。若对ab、cd杆及物体与弹簧组成的系统用功能关系，很快可以得出正确答案，因此在教学中如何选择研究对象及运用规律只是方法的优化，无对错之别。