场景叠合比较 运动时间明了

湖北 许 文

一、问题的提出

如何定性比较同一带电粒子在不同边界的相同匀强磁场中做部分圆弧运动的时间？或者几个相同的粒子以相同的初速率从不同位置或不同方向射入同一匀强磁场中做部分圆周运动的时间？

对以上提出的问题，如果采用定量的方法进行研究，求出粒子在有界匀强磁场中做部分圆周运动的圆心角，通过比较圆心角的大小来比较粒子在磁场中的运动时间，有时往往会因数学计算显得较为繁琐。若将粒子运动的磁场区域叠合在一起，则粒子运动的部分圆弧轨迹就可能重叠。定性的画出粒子可能的运动圆弧轨迹，再比较其运动时间，问题就会变得直观、简洁、明了。

二、实例分析

【例1】如图1所示，图1甲中正方形边长、图1乙中圆的直径、图1丙中菱形的对角线与图1丁中等腰直角三角形的直角边长均相等。这些区域中均有相同的匀强磁场，磁场方向垂直区域平面向里。有四个电子以相同的速度分别从图1甲中正方形区域一边的中点垂直于边长射入、从图1乙中圆形区域的边界正对圆心射入、从图1丙中菱形区域的一顶点沿对角线射入、从图1丁中等腰直角三角形区域的直角边中点垂直该边射磁场中，电子在这些磁场区域中运动的时间分别为t甲、t乙、t丙、t丁。则以下关系可能正确的是

( )

图1

A.t甲=t乙=t丙=t丁B.t丙=t丁

C.t丙t丙=t丁

图2

【答案】ABC

【点评】本题中的四个电子有相同的初速度，它们在相同的磁场中的偏转方向与做匀速圆周运动的半径相同。将它们运动的不同的四个磁场区域叠合在一起，则这四个电子的运动轨迹将重叠。改变电子运动的初速度大小，电子运动的圆轨迹半径就会改变。画出电子运动的某一可能的轨迹圆(如图2中的圆1)，在电子入射点的位置不变的情况下对这一轨迹圆进行适当的缩放，得到某些特征的轨迹圆(如图2中的圆2与圆3)，则四个电子分别在四个磁场区域中做部分圆周运动的时间大小关系便清楚明了。

【例2】如图3所示，以O为圆心、MN为直径的圆内左半部分有垂直向里的匀强磁场。三个不计重力、质量相同、电荷量相同的带正电的粒子a、b、c以相同大小的速度分别沿AO、BO、CO方向垂直于磁场射入磁场区域，已知BO⊥MN，AO、CO与BO的夹角均为30°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，a、b、c三个粒子在磁场中运动的时间分别为ta、tb、tc，则关于ta、tb、tc的大小关系可能的是

( )

图3

A.tatb>tc

C.ta=tb

【解析】由于这三个粒子的质量与电荷量相同，且以相同大小的速率射入同一匀强磁场中做圆周运动，可知这三个粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。由于粒子a只可能在AOM的扇形磁场区域内运动，粒子b只可能在BOM的扇形磁场区域内运动，粒子c只可能在COM的扇形磁场区域内运动。如果将它们运动的磁场区域以AO、BO、CO线为底边叠合在一起(如图4所示)，则等效为三个粒子入射磁场的位置相同，它们在磁场中的偏转方向也相同，故它们在磁场中运动的圆轨迹是重合的。由于粒子运动的轨迹圆半径大小与其速度大小有关。不同大小的速度，粒子轨迹圆的半径将不同。我们将粒子的运动的某一轨迹圆进行适当缩放，就可得到粒子从磁场各边界射出的情景。

如图4所示，当粒子的轨迹圆为1时，这三个粒子均从场区圆弧的边界同一位置射出(用a1标记粒子射出位置)，则有ta=tb=tc，选项D正确；当粒子的轨迹圆为2时，则a粒子先从磁场OM边界上射出(用a2标记粒子射出位置)，而后b、c两个粒子从场区圆弧的边界相同位置射出磁场，则有ta

图4

【答案】AD

【点评】本题中的三个带正电的相同粒子以相同大小的速度，分别从不同位置进入同一磁场中运动，它们在磁场中可能运动的区域只有部分相同。认清它们在磁场中可能运动的区域，将它们进入磁场的入射点与运动的磁场区域叠合在一起，这三个粒子的运动轨迹将重叠。改变粒子运动的速度大小，粒子运动的圆轨迹半径就会改变。对某一轨迹圆进行适当的缩放，就能得到它们可能从磁场不同边界射出磁场的各种情景，从而为比较它们在磁场中运动时间大小关系带来了极大的方便。

【例3】如图5所示，在Rt△ABC内有垂直纸面向里的匀强磁场，∠ABC=30°，D、F将斜边AB三等分，DE、FG平行于AC。a、b、c三个相同的带正电的粒子分别从D、F、A三点分别沿DE、FG、AC方向以相同的初速度射入磁场，它们在磁场中运动的时间分别为ta、tb、tc。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则关于ta、tb、tc的大小关系可能的是

( )

A.tatb>tc

C.ta=tb

【解析】如图5所示，这三个粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，偏转方向相同。但粒子a只可能在△BDE的磁场区域内运动，粒子b只可能在△BFG的磁场区域内运动，粒子c只可能在△BAC的磁场区域内运动。将它们进入磁场的入射点与可能运动的部分磁场区域叠合在一起(如图6所示)，等效为它们在磁场区域内运动的轨迹重合。改变粒子运动的速度大小，就可改变粒子运动的圆轨迹半径。当粒子的轨迹圆为1时，它们到达磁场边界AB上的位置相同用a1标记射出位置，这种情况下应有ta=tb=tc，选项D正确；当粒子的轨迹圆为2时，a粒子先从磁场竖直边界EB″上射出(用a2标记粒子射出位置)，后b、c两个粒子从AB边同一位置射出磁场，这种情况下应有ta

图6

【答案】AD