赏析一道电路竞赛题的三种解法

内蒙古 宋辉武

在复杂电路计算中常常用到基尔霍夫方程组、等效电压源定理、等效电流源定理、电流叠加原理这四个规律。其中，基尔霍夫第一定律指出流入电路任一节点(三条以上支路汇合点)的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和，这是电流连续性原理的必然结果。基尔霍夫第二定律指出对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。等效电压源定理(戴维宁定理)指出两端有源网络可等效为一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，内阻等于从网络两端看除电源(即将电动势短路)网络的电阻。等效电流源定理(诺尔顿定理)两端有源网络可等效为一个电流源，电流源的I0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源网络的电阻。电流的叠加原理指出若电路中有多个电源，通过电路中任一支路的电流等于电路中各个电源的电动势单独存在时在该支路上产生的电流之代数和，这与力学中常用的“力的独立作用原理”极为相似。本文将讨论这四个重要的电学原理在一道电路竞赛题中的巧妙应用，希望能够对教学有一定的参考作用。

【例1】如图1所示，不考虑内阻的电源ε和电阻R1、R2构成图1所示的电路，A、B为导线的两个端点，求A、B间的等效电动势和等效内阻。

解法一：根据等效电压源定理可求得AB两端的等效电动势和等效内阻为

解法二：根据等效电流源定理并结合电流叠加原理求解，先将AB之间连接一根导线(将电阻R2短路)，则流过AB之间的导线的电流为

对于例1来说似乎还看不出利用解法二解题的优势，下面再来看一道常见的竞赛习题。

【例2】电动势分别为ε1和ε2，内阻分别为r1和r2的如图2所示的两个电池，用一个电动势为ε，内阻为r的如图3所示的电池代替，流过电阻R的电流强度不变，并且与R无关。(1)问ε与r和ε1、ε2与r1、r2应有何关系。(2)如果开始时不是两个电池，而是电动势分别为ε1，ε2…εn和内阻分别为r1，r2…rn的n个电池，那么ε与r又应以何公式表述。

解法一(基尔霍夫方程组法)

(1)对图2，设通过电池ε1，ε2的电流强度分别为I1，I2，则

ε1=I1r1+IR

ε2=I2r2+IR

I=I1+I2

由以上三式解得

对图3有

根据题给条件，两个I应该相等，化简后得

要使两个多项式完全相等，只有对应项的系数相等，即

由此得

(2)若换用n个电动势，内阻分别为ε1，ε2…εn；r1，r2…rn的n个电池并联时也可用一个电池代替，可用数学归纳法证明得

解法二(等效电压源法)

本题实际上就是把电源部分等效为一个电压源，而题中第二问需多次地运用等效电压源定理。

(1)如图2所示，电源开路，端电压为

网络电阻满足

(2)不难解得

上述公式的证明同样要用到数学归纳法。可以发现上述两种解法解第(2)问时均需用到数学归纳法，方法并不简洁明了，为此我们来看解法三。

解法三(等效电流源定理结合电流叠加原理)

可见流过导线的总电流(即等效电流)为