改进型双频相关的整周模糊度单历元解算算法

权 源，赵修斌，庞春雷，张 豪，王 勇，伍劭实

(1.空军工程大学 信息与导航学院，陕西 西安 710077;2. 空军通信士官学校，辽宁 大连 116000)

随着全球卫星导航系统载波差分定位测向技术的不断发展，其在各个领域的作用愈加不可或缺[1]，如飞机精密编队飞行、飞行器空间交互对接、无人机进近着陆等，并且越来越多的领域对该技术的快速性、可靠性指标要求日益苛刻．由于载波差分算法的核心便是解算全球定位系统载波相位测量值中的未知量——整周模糊度，因而如何快速、可靠地解算整周模糊度成为载波差分定位测向技术的热点与难点[2]．

目前，常用的模糊度解算方法有模糊度函数法[3]、最小二乘搜索法[4]、LAMBDA算法[5]等，但该类算法需要较多历元数据方能实现整周模糊度的固定过程．于是国内外学者们尝试对其改进完善，如采用惯性器件辅助[6-7]、基线长度约束[8]等手段，通过压缩模糊度搜索空间，从而实现较短历元甚至单历元固定整周模糊度．也有学者提出根据载波相位测量值间的内在关系[9-11]，通过剔除大多数错误解以增大搜索空间稀疏度，从而实现整周模糊度的快速解算．

双频相关法(DUal Frequency COorrelation Method， DUFCOM)[9]便是一种利用不同频率载波相位测量值之间的相关特性以压缩模糊度搜索空间的算法．它以各频率卫星位置与接收机位置间的几何距离相等为依据，结合双频载波相位测量值之间的相互关系，构造了一个以L2整周模糊度为横轴、L1整周模糊度为纵轴的观测域双频整周模糊度误差带．该误差带以伪距解得的L2整周模糊度范围作为误差带带长，仅保留误差项落在误差带内的L1整周模糊度备选值，从而完成模糊度备选空间的筛选过程．

但基于伪距解算误差带带长的方式会导致两类情况发生: 一是由于伪距精度设置过低造成误差带带长区间较大，使得同样带宽宽度的模糊度备选值较多，造成误差带筛选效率降低; 另一类则是由于精度设置过高，导致正确模糊度备选值遗漏．但该算法仅考虑了L1、L2频率上的载波相位测量值，未考虑不同载波相位测量值间的线性组合方式[12]对双频相关法的影响．故笔者首先利用基线长度与观测向量信息构造双差几何相关模型，以定量解算误差带带长，由于该方式利用到更多的已知信息，使得带长长度小于原算法，进而提高了误差带筛选效率; 然后分析了模糊度搜索空间稀疏性、载波相位波长、误差带带长、误差带带宽之间的相互关系；最后通过构造宽巷整周模糊度与L1整周模糊度之间的双频误差带，既实现了对原双频相关法的扩展，又进一步压缩了带长长度，增强了模糊度搜索空间稀疏性．

1 原双频相关法

1.1 双频整周模糊度误差带

由双差载波相位方程可知[13]:

λ(φij-Nij)=G·b+Δεφij,

(1)

其中，λ为载波波长，φij为载波相位测量值，Nij为双差整周模糊度，G为接收机与卫星之间构成的视线向量矩阵，b为基线矢量，Δεφij为双差载波相位误差项．

由式(1)结合各频率卫星与接收机间构成的几何距离相等这一条件，推得

λ1(-)-λ2(-)=

式(2)中各字母下角标数字分别代表频率L1、频率L2．

令u= (λ1，将其代入式(2)，可以得到

(3)

1.2 误差带带长

联立双差载波相位方程式与双差伪距观测方程式[13]，可知

λ(φij-Nij)=ρij+Δεφij+Δερij≈ρij+Δερij,

(4)

其中，ρij为双差伪距测量值，Δερij为双差伪距测量值误差项．由于双差载波相位误差远小于双差伪距误差，故忽略不计[14]．

(5)

1.3 误差带带宽

对误差项u=(进行分析．假设L1、L2频率以周为单位的载波相位测量值精度相同，设其均方差分别为δφ1、δφ2，且由误差传播公式推知利用方差性质推得误差项u的均方差为 (4/+ 4/)1/2．若取u的3倍均方差作为上下限，则式(5)以概率99.7%使得下式成立:

(6)

2 改进双频相关法

2.1 基于双差几何相关模型解算误差带带长

(7)

图2 双差几何相关模型解算误差带带长示意图

(8)

(9)

根据双差载波相位观测方程，得

(10)

(11)

(12)

2.2 波长与搜索空间稀疏性的关系

未使用双频相关法筛选前，单个维度的L1整周模糊度是一组连续的整数变量．经过误差带筛选后的单维整周模糊度由连续变得离散，于是整个模糊度搜索空间由紧密变得稀疏．假设已知一组整周模糊度真值，将其带入式(1)，可得到

(13)

(14)

ΔL-λK→0 ,

(15)

其中，λ为载波波长，K与ΔL同维．λ越小，该式越容易成立，即符合某一精度标准的模糊度组合越多；λ越大，符合条件的组合数量越少．而λ与由于搜索空间稀疏性造成模糊度空间缩小的性质类似，即搜索空间稀疏性越强，候选模糊度对应的次优解残差越大，对应的比值也更易通过统计检验．

由式(7)和式(12)可知，误差带带长与载波波长有着直接的关系，即载波波长越长，误差带带长越短，在同样宽度的带宽情形下，误差带筛选效率越高．即使带宽宽度有所增长，只要满足由于带长缩短带来的增益大于带宽增加造成的损失，整体筛选性能便有所提升．下面以波长较长的宽巷载波进行分析说明．

2.3 基于宽巷组合拓展双频相关法

假设宽巷组合的载波波长为λw，宽巷整周模糊度为Nw，将式(2)改写为

(16)

令uw=(将其代入上式，可得

(17)

该数学模型以宽巷模糊度作为误差带横轴，以L1整周模糊度作为误差带纵轴．下面分别从带长、带宽两方面对拓展算法进行分析．

(1) 若采用宽巷伪距测量值解算误差带带长，则其误差项为假设L1和L2频率的伪距测量值精度相等，且均服从N(0，)分布，可推知宽巷双差伪距测量值误差服从N(0，8)分布，从而确定误差带带长处于以下范围:

(18)

(3) 对带宽而言，先将误差项改写为uw=(由上文已知结合方差性质推得误差项uw的均方差为 (8/+ 4/)1/2．若取uw的3倍均方差作为限差，则式(17)以概率99.7%使得下式成立:

(19)

由上式可知，宽巷组合对应的带宽相对于原带宽仅增加 (1.5)1/2倍．为了验证采用宽巷组合方式有利于整体上提高误差带的筛选效率，假设原双频相关法的误差带带长长度为5，带宽为1(此时误差带筛选效率为0)，由式(3)和式(17)得知误差带坐标系横纵坐标数值之间存在一对一的映射关系，则L1整周模糊度的有效个数为5．同时由式(18)和式(19)可知，采用宽巷组合后的误差带带长长度约为2，带宽约为1.22(效果等同于带宽为1的情形)，此时L1整周模糊度的有效个数为2．可见，采用宽巷组合方式可以提升算法的整体筛选效率．

3 实验结果及分析

3.1 实验环境

选取学院操场作为本次试验的场地．首先将两个NovAtel型号GPS-703-GGG天线分别固定在长度为 1.9 m 的基线两端，然后将两台NovAtel型号OEM628接收机板卡与天线互连．接收机采集频率设为 1 Hz．本次试验分多次采集，每次采集 20 min 左右的历元数据．计算机的处理器为Intel Core i5-4590，主频为 3.3 GHz．原始数据处理平台为Matlab 2013b．试验前半段时间基线处于静止状态，后半段时间开始绕操场运动．以某次试验为例，设卫星截止角为20°，此时可视卫星数量为6颗，同时以仰角最高的31#卫星作为基准星，从而构成5组卫星对：(31，32)，(31，14)，(31，25)，(31，3)，(31，16)．将经过LAMBDA算法过长时间解算得到的整周模糊度视作模糊度真值．

为分析笔者提出算法的性能，设方案1为原双频相关法，方案2为仅采用双差几何相关模型的改进算法，方案3为在方案2基础上采用宽巷组合方式的改进算法．

3.2 实验步骤

首先，设本次试验L2频率的伪距测量值精度为 1.5 m．根据3δ准则，模糊度初始值的上下限各为25周，总带长即为51周．图3为方案1解得的3组双差整周模糊度初始值与真实值之间的距离．由于上下限各为25周，而图3中最大距离在15周以内．可见设定的误差带带长可将正确整周模糊度包含在内，但该方案存在误差带带长过长的弊端．

图3 方案1解得的模糊度初始值与真值间距离示意图 图4 各方案解得的误差带上下限与模糊度真值间距离示意图

然后，以(31，32)卫星组合为例，比较各方案解得的带长区间长度．由于方案3的误差带横轴由宽巷整周模糊度组成，而方案1、方案2为L1整周模糊度，故对各方案进行单位化处理以同时比较3个方案带长区间长度的差异，即将各方案解得的带长上下限减去对应的整周模糊度真值．若“0”包含在新的“限差”内，则表明原误差带带长包含整周模糊度真值，如图4所示．可见3个方案解得的误差带带长均包含模糊度真值，且误差带带长效果依次为方案3>方案2>方案1，方案2、方案3较方案1的带长长度分别缩小74.3%，90.63%．

由式(6)和式(20)可知，3种方案的误差带带宽近似相等．理论上当带宽相等时，带长越短，算法筛选效率越高．对(31，32)卫星组合解得的误差带带长代入误差带进行筛选，结果如图5所示，备选模糊度数量由小到大依次为方案3<方案2<方案1，方案2、方案3较方案1的备选模糊度数量分别减少71.34%，87.15%．

图5 各方案经误差带筛选后的备选模糊度数量示意图图6 各方案在不同历元解得的比值示意图

接下来，将各方案解得的备选模糊度代入双差载波相位方程，并利用比值检验法对其进行固定．由于部分历元之间的比值相差大至3个量级，为反映所有历元的比值解算情况，故将全体比值对数化．同时假设：如果模糊度固定时仅剩一组候选模糊度，定义其比值取最大，同时将对数化的比值设为R，如图6所示．

由图6可知，R值整体上从大到小依次为方案3>方案2=方案1．这是由于方案2经过误差带筛选后的备选模糊度空间是方案1的子集，由于解得的次优解一致，故两方案的R值在本次试验中相等．而方案3较方案1、方案2筛选后的模糊度搜索空间大大减小，可能存在某个历元的某一维度候选模糊度仅保留了正确值左侧值或右侧值，剔除了方案1、2中的次优解，导致R值增大．以第494历元时Ratio检验过程为例，结果如表1所示．

表1 第494历元各方案的候选模糊度集合统计结果

表1是3个方案在第494历元固定模糊度时的候选模糊度集合．方案1、方案2包含第1～8组模糊度，方案3仅包含第1、8组模糊度，故方案1和方案2的次优解为第2组，其 lbR值为1.36；方案3的次优解为第8组模糊度，其 lbR值为4.372．可见，对该算法而言，载波波长越长，空间稀疏性则越强，使得R值更易通过统计检验．

最后，对比本次试验各方案的性能，结果如表2所示．

表2 各方案性能对比统计结果

由表2可知，笔者所提算法误差带平均带长、误差带筛选后的平均备选模糊度数量较原算法大大减少，从而使得改进算法的成功率及解算效率得到提升．

4 结 论

笔者对双频相关法进行研究，首先采用载波相位测量值代替原算法的伪距观测量，实现了定量解算误差带带长；然后根据波长与搜索空间稀疏性之间的关系，构造了宽巷整周模糊度与L1整周模糊度误差带．试验结果表明:

(1) 采用载波相位测量值解算误差带带长，可以避免采用伪距精度中误差的3δ准则对带长长度进行估计，使得误差带带长上下限的解算结果更接近真实值，有利于压缩模糊度搜索空间．

(2) 构造宽巷整周模糊度与L1整周模糊度间的误差带，一方面可以进一步压缩模糊度搜索空间，另一方面使得比值更易通过统计检验，提高模糊度解算的成功率与可靠性．

同时可知，改进后的双频相关法虽然可以有效定量、准确地解算误差带带长区间，但在误差带带宽确定环节仍然采用经验取值的方式进行估计．因此，下一步需要对影响误差带带宽大小的不同因素进行分析，以定量解算各颗卫星对应的误差带带宽，进一步提高误差带的筛选效率．