精选 细读 深究 善联
——基于数学名题研读的小学生思维训练研究

（义乌复旦实验学校 浙江义乌 322000）

一、问题的提出与分析

1. 提升思维品质，教学永恒的主题

从历史来看，人类很早就意识到思维训练的重要性，无论是苏格拉底的“头脑助产术”，还是亚里士多德的“思维工具说”都代表了先贤们对思维训练的一种不懈探索和研究。近代，当创新学在工商界蓬勃兴起的时候，思维训练迎来了它的真正黄金发展期，大量的思维研究新成果不断涌现，无数的思维方法和技巧被应用于企业产品创新和管理创新之中，进而也带动了学校和教育界对思维训练的重视与引进。[1]

2. 思维影响质量，实证数据的证明

《2011版数学课程标准》强调：数学思维训练是数学教学的重要内容，数学课堂要重视学生的思维训练。右上表是浙江省教育厅评价部方张松主任提供的可靠权威的实证数据，可知：高品质思维对教学质量提升关系最大。[2]

3. 面对现实课堂，存在突出的问题

当前的数学教学行为以及评价方式体系，依然更多的是关注学生学习的数学知识，学生思维培养存在严重的问题：

（1）教师过度的导学，降低学生思考力，教师的过度引导缩短了学生的思维过程，学生参与学习的思维程度明显不够。从上海2012年的PISA检测情况看，我国学生解决需较长时间独立思考的大问题比较薄弱。这跟课堂上长期开展小步子教学有很大的关系。

（2）学生思维的隐形，加大思维模糊度，学生思维品质的提升，不是一朝一夕的事，是一个长期积累的过程。每次训练的效果不能立竿见影，所以容易被忽视。正因为抽象的思维隐形于学生的学习活动中，教师不能准确把握学生思维动态，对学生的思维训练研究也常处于模糊的状态之中。

然而，主题式的经典数学名题往往是个大问题，能让学生进入探究之中……数学名题是数学发展史中有一定的历史故事与情节，有数学著作记载或民间流传的有代表性的数学问题。如鸡兔同笼、李白喝酒、以碗知僧、百钱白鸡、韩信点兵……都是我国古代的数学名题。本课题研读的名题包括这些问题及所蕴含的文化思想、解决方法策略等相关内容。数学题之所以能成为名题 ，大多数是因富含哲理且寓于生活之中，读之妙趣横生而又回味无穷 ，很多名题都是小学生所喜闻乐见的。

由此我们提出了：“基于数学名题研读的小学生思维品质培养研究”。

二、解决的思路与实施

本课题研究思路是“精选—细读—深究—善联”。具体地说，是以“数学名题研读”为活动载体，阅读文献收集名题，并依据数学文化、数学思想、策略等要素，筛选出一部分典型的、有文化底蕴的、适合小学生探究的数学名题素材。以“导学单”为载体，组织学生开展独立阅读，伙伴同读、教师导读等形式的研读。为学生创设一个可以像数学家那样“想”的空间。（即：面对现实问题时，以分析和抽取其中的本质特征为手段，以构造数量关系和空间形式为目标的过程。）学会运用抽象、概括、归纳、演绎、转化、分类、类比、特殊化、一般化、方程等思想方法去发现提出问题和分析解决问题。同伴之间展学，呈现真正经历“数学化”和“再创造”的过程。并及时进行举一反三，触类旁通，最终实现积累丰富而深刻的数学思想，提升思维品质的研究目标。[3]

1. 精选：精心挑选，制作微课

我们遵守选题原则，从这三个途径精选:

（1）用好教材内的经典题目；

（2）挖掘教材内的拓展题材；

（3）收集教材外的数学名题。并制作数学名题微课。

2. 细读：细心研读，思维显形

语言是思维的外壳。在课堂上，让学生通过说题，促进学生主动理解题意。在同伴交流中学会倾听不同的声音，大胆质疑，提出不同观点，讨论争辩。同时通过一些具体的办法让抽象的思维显形，如：图表法、操作法等将内部思维转化为外部动作，让隐形的思维被看见。

3. 深究：深入探究，积累策略

引导学生运用高阶思维（分析，综合，创造）的方法：比较法，分类法，归纳法，推理法，归错法，概括法，提观点，找论据，增强思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性。很多数学名题能体现某种策略的优势。如《李白喝酒》的倒推策略、《百钱白鸡》中的替换策略、《鸡兔同笼》中的假设策略……通过数学名题的探索分析，找出解决问题的有效方法策略，积累一系列思维策略，量变达到质变，提升学生思维品质。[4]

4. 善联：一单三环，举一反三

一课一名题，这样的课堂有大量的时间让学生进行有效探究。根据小学生的年龄特点和认知能力，我们采用“一单三环”学导课堂：

导学单是指一种让学生“跳一跳，摘桃吃”的试学学习单，“导学单”是教师根据课程标准要求、学生认知水平、认知规律编写的供学生使用的书面学习新知重难点的单子，是指导学生自主学习、主动参与合作探究的“路线图”，是帮助学生自主攀登学习高峰的“脚手架”。即学生能自己解决的问题让他们自己解决，解决不了的就放到小组中解决，实在是有困难的就让我们大家一起解决。剔除已知的知识，解决未知的知识，这样做既可以节省时间，也能真正体现课堂中“以学为中心”的学生主体地位。导学单是展示学生思维过程和成果的平台。

第一环节是研读。引导小学生依托“导学单”进行自主研读数学名题。

第二环节：展学。让学生以小先生身份展示并让倾听者质疑，进行有效辨析。思维本身就是很无形的感觉，如果老师们能在实施过程中化无形为有形，势必会让学生的思维增量。如五年级的“鸡兔同笼”图1：通过教师的表格数据比对，调整过程用箭头显现，学生调整的过程一目了然，理解起来显然轻松。两步列表法发展到算术法只差临门一脚，因此通过两步列表法理解过程，算术法来总结思维过程就水到渠成了。

通过一些具体的办法让抽象的思维显形，如：表述法、图表法、操作法等将内部思维转化为外部动作。在同伴交流中感悟。学会倾听不同的声音，大胆质疑，提出不同观点，讨论争辩。在自主学习、同伴交流、质疑思辨的过程中提升学生的思维品质。

第三环节：勾连。三、四、五年级的课堂中呈现了大量的素材，帮助孩子们举一反三建立鸡兔同笼的模型，如：日本的龟鹤算、三轮车和自行车同轮分配、人民币混装问题都属于鸡兔同笼模型下的思维拓展。学生面对“日本的龟鹤算、三轮车和自行车同轮分配、人民币混装问题”，引导他们给“鸡兔同笼”重新取名。到了六年级下册进行问题解决策略总复习时，老师巧妙的点拨，适时的追问，让学生一次次跳出那只有形的“笼子”，超越各种具体的解题方法，上升为一种更具有普适性的思想方法与策略——假设，从而建构起解决这类问题的更具有一般性的“数学模型”，通过方法迁移会一题通一类。如图2：

因为，数学是一门关于“模式”的科学，探究的是解决某类问题的“通则通法”。[5]

三、研究的成效与思考

1. 形成了系列化的有思考价值的数学名题素材

品读经典，丰厚人生。我们全体师生通过大量阅读数学名题，评比后筛选出了经典名题。我们课题组利用休息时间制作数学名题微课，放在“浙江省网络工作室”供广大师生自主学习、探讨，点击率高达几万人次，深受大家的喜欢和好评。

2. 构建了数学名题学导课堂范式的教学新生态

我们工作室经过一年多的学导课堂实践与反思，逐渐形成“一单三环”的数学名题学导课堂：整节课依托“导学单”，第一环节是研读。唤醒学生生活经验，对接学生学习逻辑，引导小学生进行自主研读数学名题；第二环节是展学。小组合作展学，质疑辨析，概括总结；第三环节是勾连。引导学生串联类似数学问题，一以贯之，举一反三，触类旁通，并能拓展延伸。构建基于数学名题的学导课堂模式，形成“思维金三角”，有利于形成良好的认知结构。

3. 看到了“数学名题兴趣班”一些惊喜的现象

经过一年多的数学名题研读，我们感悟到：数学名题不是让学生回忆学到了哪些知识，而是促使学生运用所学知识解决实际生活中的现实问题，并去发现、创新。与目前的PISA题目是一脉相承的。

用PISA部分数学样题来检测“数学名题兴趣班”学生的学习效果，虽然不是很准确，但从中可以获取一些惊喜的现象。我们用PISA检测部分样题（详见附件）对参加数学名题赏析的义乌复旦实验学校六（1）班30名学生进行独立检测。数学名题兴趣班与基础差不多但没有参加数学名题拓展兴趣班的学生比较，结果数学名题拓展兴趣班学生运用所学数学知识解决实际应用问题能力比没有参加数学名题拓展兴趣班学生要强一些。

从以上复式统计图直观看出，在普通试卷成绩差不多的情况下，参加数学名题拓展研读的学生解决PISA样题的能力要比没参加数学名题研读的学生强得多。

4. 弘扬了中外古代数学历史文化的精华

以数学名题为载体，适当介绍有关的背景知识，帮助学生感悟深厚的数学文化，体会数学在人类发展史中的作用。人文素养是学生的核心素养之一。学生通过数学经典趣题的阅读，了解数学发展的历史，渗透数学文化。数学是人类的一种文化，数学名题具有独特的文化价值。师生感受到了古人的聪明智慧，增强民族的自豪感。我们学习中国古代名题《聪明人和有钱人 》和古代印度的《棋盘放米问题》数学名题，可以让学生从多方面感受数学的魅力，从而喜欢数学、热爱数学。

图2 参加与未参加数学名题兴趣班PISA样题检测成绩复式条形统计图表

5. 实现了课题成果较好的应用与推广

数学名题思维金三角的学导课堂在省内多次研讨课交流并推广，深受广大师生的喜欢。

（1）学生喜欢上数学名题赏析兴趣拓展课，增强了思维力

本课程以“数学名题研读”为活动载体，组织对数学名题感兴趣的学生开展独立阅读，伙伴同读、教师导读等形式的研读。为学生创设一个可以像数学家那样“想”的空间，真正经历“数学化”和“再创造”的过程。最终实现积累丰富而深刻的数学思想，提升思维品质的研究目标。数学成绩不是最重要的，可贵的是学生对数学名题充满兴趣。 兴趣是最好的老师。参加数学名题拓展兴趣班学生会主动抽时间做“数独”，玩“魔方”，解“九连环”，乐此不疲。

（2）工作室老师喜欢上数学名题的研讨课，提高了指导力

近两年，工作室成员喜欢上数学名题的研讨课，如在3、4、5、6不同年级各上了4节《鸡兔同笼》，三年级的画图法、四年级的列表法、五年级的算术法和六年级解题策略综合复习法，深深吸引着与会者的眼球。

教学中，我们不仅要关注孩子是否“会做”，还要关注孩子是否“会说”。要求孩子在经历的基础上，把想法用自己的语言表达出来。经常这样训练孩子有条理地说思路，使孩子形成见题就想，想好了就说的好习惯，会更加有效地培养学生的思维能力和语言表达能力。

（3）课题成果得到较好的提炼和推广，提高了宣传力

数学名题的研读，提高了教师的反思能力和思维能力，很多老师发表了与课题相关的论文，由组长执笔的本课题代表性论文《基于数学名题的思维课堂实践研究》发表在今年第6期的《辽宁教育》上，抛砖引玉。

本课题研究过程中，发现有些数学名题虽然题材不错，但远离目前学生的生活实际，这给学生理解题意带来一定的难度。因此，我们计划在后续研究中，对一些数学名题进行适当的改编，多设计一些类似PISA的题目，既能比较贴近学生的生活实际，又能在一个比较大的数学问题空间中探索，研究。接下来，我们试图“探究小学数学名题准PISA题的设计与实施”，努力唤醒学生生活经验，对接学生学习逻辑。继续引领学生探究在数学名题的道路上！