数学中的“合分割补”思想

韦有礼

摘要 “合分割补”思想是整个中学阶段中一个非常重要的思想，它在代数和几何方面应用广泛，这四个字中“合”即为“合并”之意，“分”即为“分开”、“拆开”之意，“割”与“补”是相互的。本文通过撷取教学过程中的几个例子来展现这种思想，帮助学生能够有所启发，培养学生学习数学的积极性。

关键词：合分割补，数列，函数，不等式

一、在数列中应用

例：写出下列数列通项公式

分析：求数列的通项公式要寻找项与序号之间的关系。第一个数列可看出 是1 个-1， 是2个-1 相乘， 是3个-1相乘，因此 。再来

求第二个，第二个与第一个数列有没有一点关系呢？这是一个摆动的数列，它能否转化成第一个数列呢？此时就需要利用割补法去求

了，由于3与5的中间数是4，这里如果每一项都割掉中间数 的话，那么这个数列就变成 它和第一个数列是一样的，这样就可以写出通项公式，并补上割掉的数，即 。类似地，第三个数列也要割掉中间数 ，但此时变成 ，而这个数列恰好是第一个数列的1.5倍，因此数列的通项公式为 。

二、在函数中的运用

我们在小学学习分数的运算法则时，有这样一条：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。这条性质的逆向用代数式表示为：

，虽然等式很明显，但却蕴含着非常重要的合分思想。

例：求下列函数的值域

分析：这三个函数都是分式函数，不是熟悉的初等函数，但都可利用

这条性质将其拆分为熟悉的初等函数。如第一个函数可化为

，

那么当 时， ，从而第一个函数值域为（2，3）。……