求数列极限的几种常用方法

李金媛

【摘要】随着科学技术的不断发展，数学思维的地位日益凸显，极限理论也逐渐被众人所熟知和接受.在数学分析中，极限理论是比较重要的部分，它也掌握着数学分析的命脉，运用极限理论可解决许多数学领域中的问题.数学分析中所讨论的极限大致可以分为两类：一类是数列的极限;一类是函数的极限.两类极限之间有着密切的联系，不可分割.而极限的运算复杂多样，题型又千变万化，学生不容易掌握，本文主要针对这些现象对求解数列极限的几种常用方法进行探讨.

【关键词】数列极限;方法

一、运用极限的定义来求极限

定义：设{an}为数列，a为常数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，常数a称为数列{an}的极限.

二、利用极限四则运算法则及重要公式和初等变形求极限

（1）四则运算法则：若 limn→∞an=a， limn→∞bn=b.

limn→∞（an±bn）=a±b， limn→∞（anbn）=ab，

limn→∞anbn=ab（b≠0）.

（2）limn→∞alnl+al-1nl-1+…+a0bknk+bk-1nk-1+…+b0=limn→∞alnlbknk.

当l=k时，原式=albk;当lk时，原式=+∞.

（3） limn→∞qn=0（|q|=0）.

（4） limn→∞na=1（a>0）.

（5） limn→∞an=a.

则① limn→∞a1+a2+…+ann=a.

② 若an>0，limn→∞na1a2…an=a.

（6）若{an}是等比数列，其前n项和为Sn，公比q满足|q|=1，则 limn→∞Sn=a11-q.

三、利用重要极限求数列的极限

（1） limn→∞sinxx=1.

变形 limn→∞sinφ（n）φ（n）=1（n→∞，φ（n）→0）.

（2）limn→∞ax-1x=lna（a>0）.

变形 limn→∞aφ（n）-1φ（n）=lna（a>0）（n→∞，φ（n）→0）.

（3） limn→∞1+1nn=e.

變形 limn→∞（1+φ（n））1φ（n）=e（n→∞，φ（n）→0）.

推广：（1）n→∞.若φ（n）→0，f（n）→∞且φ（n）·f（n）→A，

则 limn→∞（1+φ（n））f（n）=limn→∞ef（n）ln（1+φ（n））=limn→∞ef·φ=eA.

（2）n→∞.若φ（n）→1，f（n）→∞且（φ（n）-1）f（n）→B，

则 limn→∞φ（n）f（n）=limn→∞ef（ln（φ（n））-1）=eB.

四、单调有界数列法、单调有界数列必收敛（即存在极限）

（1）利用“单调数列必收敛”证明极限存在;

（2）令 limn→∞an=a，对an+1=f（an）两边取极限，转化为关于a的方程，求出a的值.

五、利用迫敛性准则求数列极限

如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：

（1）从某项起，均有yn≤xn≤zn;

（2） limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，则limn→∞xn=a.

六、利用柯西收敛准则证明极限的存在性

例证明an=b112+b222+b332+…+bnn2（|bn|≤M，n=1，2，…）收敛.

证明ε>0，N>0，使得当n>N，P∈N+，有1n2≤1n（n-1）=1n-1-1n，|an+p-an|=M1n+p-1-1n+p+1n+p-2-1n+p-1+…+1n-1-1n≤M1n<ε.

七、利用等价无穷小代换求极限

重要的近似公式：当x→0时

（1）sinx～x;（2）tanx～x;（3）ex-1～x;

（4）1-cosx～12x2;（5）arcsinx～x;（6）arctanx～x;

（7）ln（1+x）～x;（8）ax-1～xlna（a>0且a≠1）.

八、利用定积分求数列极限（此类方法主要是处理无限项求和或求积的形式）

定积分的定义的数学形式：实际使用中[a，b]→[0，1]比较常见.

∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1fa+i（b-a）nb-an（取右端点定义，x0=a），

∫baf（x）dx=limn→∞∑n-1i=0fa+i（b-a）nb-an（取左端点定义，xn=b）.

以上方法是数学分析中常用的求解数列极限的重要方法.除了以上的常用的方法外，还有许多求数列极限的方法等着我们不断去探索和挖掘，每一种方法的产生都源于多样的表达方式和细心地发现，所以在求解极限的过程中要巧妙地运用技巧，找到合适的方法，使问题迎刃而解.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局，2003.