反对称铺设复合材料圆柱壳双稳态特性的温度影响理论模型与数值分析*

张焕青，柴国钟，张 征，吴化平

(浙江工业大学 特种装备制造与先进加工技术教育部/浙江省重点实验室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

具有两种不同稳定状态特性的复合材料结构称为双稳态复合材料结构，其不仅能克服单一材料的性能缺陷，并且在无需持续外载荷的作用下能分别稳定保持在两种稳态。根据材料不同的铺设方式，它又可分为非对称、对称与正交双稳态结构[1-2]。

由于其优异的性能，诸多学者展开了对该特殊结构特性的研究。HYER[3-4]对非对称铺设圆柱壳结构展开了讨论，通过实验结果与其提出的理论进行对比验证，发现两个稳态的曲率方向是相反的；DATON-LOVETT[5]发现了反对称圆柱壳结构与非对称圆柱壳结构特性有所不同，即两个稳态的曲率方向是一致的；GUEST和PELLEGRINO[6]提出了一个用来描述双稳态复合材料圆柱壳结构不同稳态的双参数模型，主要考虑圆柱壳方向角θ和潜在圆柱主曲率C两个参数。上述研究只考虑了机械载荷作用下的双稳态结构的稳态转变，然而这些结构常被应用于服役条件恶劣(如高温环境)的航天航空领域或其他可变形结构领域中。

在双稳态复合材料结构中，常采用纤维增强树脂基底复合材料，该类材料的参数容易受温度的影响。ODEGARD等人[7]研究了应用于航空航天的Carbon/PMR-15材料的力学性能随温度变化的情况，这种材料能够适用于较高温度下工作，该材料的弹性模量和剪切模量受温度变化的影响较小，而热膨胀系数α11和α22会随着温度的增加而变大；HYER[8]通过对T300/5208 Graphite-Epoxy复合材料在不同温度下的弹性模量、泊松比和热膨胀系数进行了测量，通过数值拟合得到了材料参数随温度变化的非线性关系；ZHANG等人[9-11]对Carbon/Epoxy双稳态非对称铺设圆柱壳展开了其受热载荷影响的分析，通过对结构施加热载荷以驱动结构稳态转变，得出了受热影响的材料性能对结构双稳态行为的改变。

本文将使用经典层合板理论与最小势能原理，建立双稳态反对称铺设圆柱壳的理论模型，并使用有限元软件ABAQUS分别对恒温场、均匀温度场和温度梯度场作用下的Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T500/3028 Graphite-Epoxy制成的双稳态反对称铺设圆柱壳的双稳态特性进行研究，建立合理的数值分析模型。

1 理论分析

1.1 温度场下的双稳态圆柱壳理论模型

由于温度对反对称铺设圆柱壳结构的影响，笔者考虑温度影响情况下的本构方程包括机械载荷与温度载荷两部分产生的应变和曲率，其表达式为[12]：

(1)

式中：N—层合板的总内力；M—层合板的总弯矩；NM—由机械载荷产生的力；MM—由机械载荷产生的弯矩；NT—温度场产生的力；MT—温度场产生的热力矩；ε—中性面总的应变；k—中性面总的曲率；εM—由机械载荷引起的中性面应变；kM—由机械载荷引起的中性面曲率；εT—由热载荷引起的应变；kT—由热载荷引起的曲率。

刚度矩阵为：

式中：Zk—垂直于厚度方向平面到中性面的距离；k—划分层数；n—材料总层数。

由于反对称铺设圆柱壳结构具有两个稳态，可以从能量角度出发求解出两个稳态解，即总势能的两个极小值。基于以上公式，得出总势能包括弯曲应变能ub和拉伸应变能us，分别为：

(2)

(3)

单位面积的总势能表达式为：

U=ub+us=

(4)

当到达第二稳态时ky2≈0，利用最小势能法可得第二稳态主曲率kx2和扭曲率kxy2：

(5)

(6)

1.2 3种材料属性的拟合

反对称双稳态圆柱壳采用Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy这3种材料属性与温度相关的材料。根据CAMPBELL[13]，ECKSTEIN[14]和ZHANG等人[15]对3种材料的材料属性实验测试数据，得出以下线性、二阶最小二乘法拟合的公式。

Carbon/Epoxy材料属性与温度的关系式如下：

E1=(-0.065 4(T0+ΔT+Tzz)+128.03)×109Pa

E2=(-0.063 8(T0+ΔT+Tzz)+10.665)×109Pa

G12=(-0.033 9(T0+ΔT+Tzz)+5.387 7)×109Pa

ν12=0.410 2

α1=(0.000 3(T0+ΔT+Tzz)2-0.035 5(T0+ΔT+Tzz)+2.0897)×10-6

α2=(0.004 1(T0+ΔT+Tzz)2-0.225 4(T0+ΔT+Tzz)+32.23)×10-6

α3=(0.003 7(T0+ΔT+Tzz)2-0.149 6(T0+ΔT+Tzz)+32.78)×10-6

Carbon/PMR15材料属性与温度的关系式如下：

E1=(-0.052 5(T0+ΔT+Tzz)+139.67)×109Pa

E2=(-0.010 8(T0+ΔT+Tzz)+9.138 9)×109Pa

G12=(5×(T0+ΔT+Tzz)2×10-5-0.033 5(T0+ΔT+Tzz)+7.177 1)×109Pa

υ12=0.45

α1=(-4(T0+ΔT+Tzz)2×10-6+0.002 2(T0+ΔT+Tzz)-0.246 1)×10-6

α2=(-0.000 2(T0+ΔT+Tzz)2+0.022 9(T0+ΔT+Tzz)+28.341)×10-6

T300/5028 Graphite-Epoxy材料属性与温度的关系式如下：

E1=5×105(T0+ΔT+Tzz-21)2+1.99×108(T0+ΔT+Tzz-21)+1.65 Pa

E2=1.2×106(T0+ΔT+Tzz-21)2+2.56×108(T0+ΔT+Tzz-21)+2.20×1010Pa

G12=-3×104(T0+ΔT+Tzz-21)2-1.8×107(T0+ΔT+Tzz-21)+4.84×109Pa

ν12=-0.000 5(T0+ΔT+Tzz)+0.435 2

α1=10-11(T0+ΔT+Tzz-21)3+6×10-9(T0+ΔT+Tzz-21)2+10-6(T0+ΔT+Tzz-21)+5×10-5

α2=2.65×10-5

2 理论计算

反对称铺设双稳态复合材料圆柱壳结构常被应用在航天航空领域(如可变形机翼等)，常在高温环境下服役。因此，为了研究在热环境下性能较好的双稳态圆柱壳，笔者展开了温度场的变化对Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反对称铺设双稳态圆柱壳的应变能U，扭曲率kxy与第二稳态主曲率kx2影响的研究。以下均使用铺设方式为[45°/-45°/45°/-45°]，长度L为100 mm，初始半径R为25 mm，单层材料厚度为0.12 mm且初始圆心角β为180°的试件参数进行计算。其中，圆柱壳试件形状与尺寸如图1所示。

图1 反对称铺设双稳态圆柱壳试件示意图

2.1 恒温场与均匀温度场下的双稳态特性

在20 ℃、70 ℃和120 ℃恒温场下，Carbon/Epoxy、Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy双稳态反对称圆柱壳的应变能U与第二稳态主曲率kx2的关系如图2所示。

图2 在不同恒温场下3种材料双稳态反对称圆柱壳的应变能U与第二稳态主曲率kx2的关系(ky=0)

图2中，3种材料的总势能都存在一个极小值，这个极小值则对应着各试件的第二稳态。Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15的双稳态壳都是温度越高对应的U越低，然而T300/5028 Graphite-Epoxy这种材料在到达kx2最小值之前温度越高对应的U越低，而后温度越高对应的U越高。

3种材料制备的圆柱壳在均匀温度场下温度增量与扭曲率变化的关系(ΔT-kxy曲线)如图3所示。

图3 在均匀温度场下3种材料反对称双稳态圆柱壳的温度变化量ΔT与扭曲率kxy的关系

由图3可知：随温度变化量的增加，Carbon/PMR15圆柱壳的扭曲率稳定增长，然而Carbon/Epoxy圆柱壳的扭曲率在ΔT<100 ℃之前都稳定增长，超过100 ℃后增长速率减缓。无论温度升高或降低，两者第二稳态扭曲率均比初始状态要大，即kxy1

均匀温度场对3种材料反对称铺设圆柱壳的第二稳态主曲率kx2的影响情况如图4所示。

图4 在均匀温度场作用下3种材料反对称双稳态圆柱壳的温度变化ΔT与第二稳态主曲率kx2的关系

在图4中，当温度保持在室温时，Carbon/Epoxy的kx2数值在29.5 m-1附近，Carbon/PMR15的kx2数值在28 m-1附近，而T300/5028 Graphite-Epoxy的kx2数值在32 m-1附近。随着温度的增加kx2不断增加，圆柱壳会变得更加卷拢，且Carbon/PMR15与T300/5028 Graphite-Epoxy曲线增长速率相近，而Carbon/Epoxy曲线增长速率较大。

均匀温度场对3种材料反对称铺设圆柱壳的应变能U的影响情况如图5所示。

图5 在均匀温度场作用下3种材料反对称双稳态圆柱壳的温度变化量ΔT与应变能U的关系

从图5可知：Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15两种材料制备的圆柱壳随着温度的增加U会减小。Carbon/Epoxy圆柱壳的初始值为0.95 J左右，而Carbon/PMR15圆柱壳的初始值为1.15 J左右，并且曲线减小的速率Carbon/Epoxy要比Carbon/PMR15快。T300/5028 Graphite-Epoxy这种材料的圆柱壳随温度的增加，U先呈现缓慢递增的趋势，当ΔT>70 ℃之后就快速增长，并且U的数值要比前面两种材料大两个数量级。

2.2 温度梯度场下的双稳态特性

当沿厚度方向有温度梯度Tz变化时，在温度T中需增加一项Tzz，整个反对称铺设圆柱壳结构受到的温度为T=T0+ΔT+Tzz。考虑到材料的使用环境温度区间，避免施加温度梯度导致材料失效，所以笔者设置材料的初始温度T0为50 ℃(即圆柱壳中心面温度)，温度梯度范围为-200 ℃mm-1～200 ℃mm-1之间。温度梯度Tz的变化对3种材料反对称圆柱壳扭曲率kxy与第二稳态主曲率kx2的影响分别如图6所示。

(a)温度梯度Tz的变化对Carbon/Epoxy反对称圆柱壳扭曲率kxy的影响

(b)温度梯度Tz对Carbon/PMR15反对称圆柱壳扭曲率kxy的影响

(c)温度梯度Tz对T300/5028 Graphite-Epoxy圆柱壳扭曲率kxy的影响

(d)温度梯度Tz对Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15反对称圆柱壳第二稳态主曲率kx2的影响

(e)温度梯度Tz的变化对T300/5028 Graphite-Epoxy反对称圆柱壳第二稳态主曲率kx2的影响

根据图6可以发现：(1)Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15圆柱壳的kxy1和kxy2的数值相近且均为负数，而T300/5028 Graphite-Epoxy的扭曲率却远大于前两种材料的圆柱壳，但三者结果都关于x=0 ℃mm-1呈轴对称；(2)在Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15中|kxy1|<|kxy2|，而在T300/5028 Graphite-Epoxy中|kxy1|>|kxy2|；(3)3种材料双稳态壳的第二稳态主曲率kxy2都随着TZ的增长而增长，Carbon/Epoxy的初始值在29.5 m-1左右，而Carbon/PMR15的初始值在27.5 m-1左右，两个增长率相近，但是Carbon/Epoxy的增长率较大。T300/5028 Graphite-Epoxy的初始值在2.5 m-1左右，增长率要远大于前两种材料的双稳态壳。

3 模拟与结果分析

3条突变荷载-位移曲线如图7所示(分别对应温度从室温20 ℃增加到40 ℃和60 ℃，施加机械载荷使双稳态圆柱壳发生稳态转变的过程)。

图7 3种材料反对称双稳态圆柱壳在不同温度作用下稳态转变的位移载荷关系

图7结果表明：Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy双稳态壳曲线有相同的趋势，即随着施加载荷增加结构位移明显增加，且当载荷达到峰值后位移量迅速下降到零。这种现象表明圆柱壳由第一稳态转变为第二稳态。

Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反对称双稳态壳稳态在不同室温下稳态转变的突变载荷如表1所示。

表1 Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反对称双稳态圆柱壳不同温度下的突变载荷

由表1可知：Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15反对称圆柱壳的突变载荷将随温度的升高而降低，且在不同室温下Carbon/PMR15的突变载荷都大于Carbon/Epoxy，然而T300/5028 Graphite-Epoxy的趋势却与前两者不同，随着温度的上升突变载荷先上升后下降，但都远大于前两种材料的圆柱壳。

4 结束语

本文通过理论和有限元分析，研究了恒温场、均匀温度场和温度梯度场对3种材料反对称铺设圆柱壳的双稳态行为的影响，结果均表明上述温度场对第二稳态主曲率kx2有明显的影响，而扭曲率kxy受均匀温度场的影响最为明显。此外，Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15圆柱壳的扭曲率kxy和温度变化之间的关系是相似的，kxy始终为整数且两者数值差值小于5 m-1，但T300/5028 Graphite-Epoxy圆柱壳的趋势与前两者相反且为负数。同时，T300/5028 Graphite-Epoxy的第二稳态主曲率kx2且稳态转变所需的突变载荷F在这3种材料非对称铺设圆柱壳种最大。

该研究结果可对双稳态反对称圆柱壳选材提供指导。