掌握性质，学会应用
——以等差数列为例

陆 峰

我们知道，在等差数列｛an｝中，有公差，那么am，an，am+n之间有什么关系呢？

性质1：在等差数列｛an｝中，有．

设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，则，可知数列也是等差数列．

于是又有下面的性质：

性质2：在等差数列｛an｝中，设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，则对于m，n∈N*，m≠n，有．

数学的基本原则是：求真、求简、求美，“对称”是数学美的核心．上述两个公式由于“对称”而显得简单优美，运用它们解题时也会给人耳目一新的感觉，本文撷取几例，供读者参考．

例1在等差数列｛an｝中，am=n，an=m（m，n∈N*，m≠n），则am+n=_________．

解析本题可以先利用等差数列的通项公式求出基本量a1和公差d，然后再求am+n．如果利用性质1会很简洁．

则am+n-am=-n，

所以am+n=0．

变式1在等差数列｛an｝中，Sn是前n项和，Sm=n，Sn=m（m，n∈N*，m≠n），则Sm+n=_________．

解析不少同学在遇到这道题目时往往感到棘手，字母较多，心生畏惧．注意到题目的特殊性，如果借助性质2本题可以迎刃而解．

则Sm+n=-（m+n）．

例2等差数列｛an｝的前m项的和为30，前2m项的和为100，它的前3m项的和为________．

解析由性质2知，故S3m=210．

变式2等差数列｛an｝的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前5m项的和为________．

解析由例2得S3m=210，

以上几例可以看出，等差数列这两个优美的性质在解决相关问题时，能大大简化解题过程，减少运算量．

巩固练习

1．若Sn是等差数列｛an｝的前n项和，且S8-S3=20，则S11的值为________．

2． 等差数列｛an｝的前n项和为Sn，Sm=Sn（m，n∈N*，m≠n），则Sm+n=________．

参考答案

1．44． 2．0．