变形式定圆运动 求最值动中取静

张小川 董涛

定角对定边类问题在各地的中考试题中屡见不鲜，且多以压轴题的形式出现，在此基础上，进一步思考：当问题中出现“定角定高”、“定角定中线”、“定角定角平分线”时，又该如何转化？

为使读者清楚问题的背景，先给出定角对定边的基本问题.如图1，线段AB的长是定长，在平面内一点C，∠ACB度数为定值，则点C的运动轨迹是三角形ABC外接圆上的圆弧，解决与之相关的问题，通常做法是作出三角形ABC的外接圆[1][2]，外接圆的位置和半径是固定不变的.这个结论在诸多文献都有讨论，文[1]和文[2]说明了这种方法的正确性，本文尝试探索“定角定高求最值”“定角定中线求最值”“定角定角平分线求最值”的转化思路.

1  定角定高求最值

1.1 定角为直角

如图2，∠ACB=90°恒定不变，点C到直线AB的距离CD=a为定值，角的两边与直线交于A、B两点，在∠ACB绕点C旋转过程中，求线段AB长度的最小值和△ABC面积的最小值.

分析  如图3，因为∠ACB=90°保持不变，容易想到作△ABC的外接圆O，设半径为r.

在∠ACB绕点C旋轉的过程中，外接圆O的位置和大小也随之改变.

连接OC，则OC=r，AB=2r，要计算AB的最小值，可以计算r最小值.