指向核心素养的两角差的余弦公式教学再设计

2019-01-16 02:10高长玉
数学通报 2018年12期
关键词:余弦向量公式

高长玉

(安徽省淮南市第二中学 232001)

“两角差的余弦公式”(简称差余公式)是经典内容,涉及的数学知识广泛,包含了丰富的数学思想与方法.本课的教学对学生获得“四基”、提升“四能”、培养数学思维和发展数学学科核心素养都很有作用.本文在分析这一内容教学现状的基础上,以发展学生数学学科核心素养为指向,给出笔者的教学设计,敬请同行批评指正.

1 教学现状分析

1.1 教材现状

对比几种不同版本教材,发现对本节知识引入与展开的处理方式有所不同:

(1)人教A版:先在章头图创设了一个涉及两角和三角函数的实际应用问题情境,再在单位圆中推导α,β为锐角,且α>β时的两角差余弦公式cos(α-β),最后再借助向量工具证明α,β取任意角的一般情况.

(2)人教B版:直接提出“如何计算α+β,α-β的三角函数”,随即给出公式.

与北师大版教材处理方式类似,苏教版和湘教版教材也采用向量数量积引导出差余公式.

1.2 课堂教学现状

受教材编写意图引导、教师理念和学生能力差异等因素的影响,目前对本节知识引入与展开常见以下几种方式.

(1)问题铺垫、单刀直入式

按人教B版的方式,教师先是抛出诸如“如何求值sin75°,cos15°”的问题引出课题“两角和与差的余弦公式”,再用向量法推导差余公式.

(2)情境设置、“猜想”指引式

教师设置类似于人教A版章头图中实际应用的问题情境,引入研究课题,继而呈现诸如:

cos30°=cos(60°-30°)

cos90°=cos(120°-30°)

=cos120°cos30°+sin120°sin30°=0,

的结论,让学生直观感知,猜想公式,再引导学生用向量法给予证明.

(3)“巧设”问题、引导“探究”式

教师设置诸如“已知a=(cos75°,sin75°),b=(cos45°,sin45°),试求a·b的值”的问题,然后给出计算a·b的两种方法:

解法一:a·b=cos75°cos45°+sin75°·sin45°;

解法二:a·b=a·bcos30°=cos30°,

再猜想公式,并用向量法证明.

对于上述知识引入、展开的方式,笔者认为有以下几个值得商榷的问题:

第一,设置的问题有些突兀,不自然,不连贯,教师的主观意志强;

第二,缺乏必要的引导,公式的发现成为“被发现”,导致学生思维的参与度不高.

第三,没有顾及学生的认知准备现状,在理解数学、理解学生、理解教学上都存在欠缺.

2 教学再设计

针对上述问题,并考虑到笔者所在学校是省级示范高中,生源状况较好的实际,笔者对本课的教学进行了再设计,通过教学实践检验,收到较好效果.下面呈现几个片断.

片断一设置问题情境、引入新课

问题(1) 前面我们曾学习过许多三角函数诱导公式,你能写出一些与大家分享吗?

问题(2) 通过这些诱导公式你能提出一些新问题吗?你有哪些初步的判断?

对于问题(1),要求学生写的越多越好;通过问题(1)的分享,为问题(2)的思考做好铺垫.

通过对三角函数诱导公式的举例,引导学生对诱导公式进行观察、比较、分析,初步判断两角和与差的正余弦函数sin(α±β),cos(α±β)与两个角的正弦sinα,sinβ和余弦cosα,cosβ都有关系.

设计意图①通过对诱导公式共性的归纳,给两角和与差的三角函数公式提供猜想的指向,即两角和与差的正、余弦与两角的正、余弦皆有关系(但不是简单的“分配律”的关系);

②从诱导公式出发,在学生思维的“最近发展区”内提出问题,启发学生从特殊到一般,思考两角和与差的三角函数问题,有利于学生展开创造性思维,得出有关猜想.

片断二猜想公式、知识展开

(1)研究对象的选择

探究1: 两角和的问题可以转化为两角的差吗?反之呢?

探究2: 当α,β都是锐角且α>β时,α+β一定为锐角吗?α-β呢?

学生在完成这两个探究之后,自然选择了先研究差角的余弦.

设计意图①让学生体验化归与转化的数学思想方法,使其有一种金蝉脱壳的惬意;

②渗透从“特殊”入手的研究策略,帮助学生找到思维的切入点.

(2)探究特殊结论

学生联想到同样是“特殊情况”的三角函数诱导公式的推导方法,自然会想到:可以考虑在直角坐标系中,借助于单位圆,利用三角函数线探究锐角α-β的余弦函数.

笔者用问题串的形式引导学生作如下思考:

问题1:如图1,在单位圆中,为了便于作出角α-β的余弦线,你认为设哪两个角为α、β较为妥当?

图1

图2

设∠AOx=α,∠AOB=β,如图2,过点B作BC⊥x轴(点C为垂足),则cos(α-β)=OC.

由初步判断,α-β的余弦与sinα,sinβ和cosα,cosβ都有关系.但对于角β,它的两边均不与x轴非负半轴重合,引导学生考虑构造含角β的直角三角形.

问题2: 怎样构造含角β的直角三角形?你是如何想到的?

图3

如图3,学生一般会选择过点B作BD⊥OA(点D为垂足),理由是“BD与BC方便建立联系”.

问题3: 如图3,在Rt△BOD中,已知什么,可知什么?

学生容易回答,已知∠AOB=β,OB=1,可知OD=cosβ,DB=sinβ.

问题4: 如何建立未知线段OC与已知线段OD、DB的联系?

利用几何画板,分别用黄色、红色闪现已知、未知线段,结合笔者在解题教学中经常提到的“四个什么”——已知什么,可知什么,要知什么,想知什么.学生会想到把这两条已知线段投影到x轴上,可使未知与已知联系起来.

图4

如图4,过点D作DE⊥OC(点E为垂足),则OC=OE+EC.

启发学生,要求OE,就要观察OE所在的三角形,学生容易得出OE=OD·cos∠BOD=cosβ·cosα.

如何求EC的长自然地成了一个呼之欲出的问题.

问题5: 在直角梯形ECBD中(如图4),可以知道哪些已知条件?

除了直角外,考虑到发现∠EDB=∠AOx=α有一定难度,可以借助多媒体将∠EDB与∠AOx的两边分别用绿色与紫色间隔性闪烁.

问题6: 在直角梯形中,求边长问题,我们常用的方法是什么?

学生一般有两种转化方法:一种是过点B作BF⊥DE(点F为垂足)(如图5);另一种方法是过点C作CF∥BD交DE于点F.都可以得出EC=sinβ·sinα(如图6).

图5

图6

因此,有结论cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

设计意图在学生的思维最近发展区内提问,通过层层递进的问题引导学生思考与探究,给学生留下充分的悟的时间,使公式的发现一步步拾阶而上.

问题7: 基于研究问题所采用的“从特殊到一般”的归纳策略,你会提出怎样的猜想?

学生容易得出猜想:对任意角α,β,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立.

追问:观察表达式的右边,从运算上看是什么形式?这与前面我们学过的哪一种运算在形式上类似?

学生容易想到平面向量的数量积运算.由于表达式右边的结构是x1x2+y1y2的形式,学生想到构造向量(x1,y1)与(x2,y2)已是情理之中.

接着利用向量的数量积定义知猜想“正确”.

问题8: 你认为以上推导天衣无缝吗?

在学生满足于成功的喜悦之际,突然这么一问,很有戏剧性,容易引起学生的好奇心和求知欲.

在学生百思不得其解的情况下,教师适时点拨,请他们回忆一下向量夹角的范围.他们很快会意识到以上只是证明了“α,β∈[0,π],且α>β时,猜想成立”.

设计意图渗透由特殊到一般的归纳策略,通过观察、归纳、猜想培养学生的创造性思维能力;问题8的设计对培养学生的批判思维能力,对规范答题,解决“会而不对”、“对而不全”等问题很有帮助.

问题9: 针对以上角α与β的大小关系,你会作怎样的分类?

当α=β时,结论显然成立;

当α<β时,可以从两个角度说明猜想成立:一是由诱导公式cos(α-β)=cos(β-α),二是从余弦函数的奇偶性.

问题10: 现在已经证明了“α,β∈[0,π]时猜想成立”,怎样扩大α,β的范围?

学生意识到只要证明一个周期内猜想成立,再根据周期性便知任意角时猜想也成立,学生通过自主探究,可以有以下两种处理方法:

方法一:设α∈(π,2π],β∈[0,π],令α=π+θ,

则左边=cos(π+θ-β)=-cos(θ-β),

而右边=cos(π+θ)cosβ+sin(π+θ)sinβ

=-(cosθcosβ+sinθsinβ),

又cos(θ-β)=cosθcosβ+sinθsinβ,从而结论成立.

考虑到对称性,β∈(π,2π]时结论也成立.至此,证明了“α,β∈[0,2π]时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ”成立.

方法二:因为α,β∈[0,π]时猜想成立,

所以α,β∈[-π,0]时猜想成立(因为余弦函数为偶函数).

所以α,β∈[-π,π]时猜想成立.

设计意图“从揭露已有知识在解决新问题时遇到的困难开始,以引起学生的好奇心和求知欲,调动学生探究新知的积极性”[1]在这一思想的指导下,培养学生分类讨论、化归与转化的数学思想方法,让学生进一步感悟由特殊到一般的归纳策略.

3 结束语

章建跃博士认为,“四个理解(理解数学、理解学生、理解技术、理解教学)”是教师专业化发展的必由之路,也是提高教学质量的根本保证.他同时强调,课堂教学要发挥数学的内在力量,在整个教学内容的展开过程中,都要发挥“一般观念”的作用,加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导.

在此思想的指导下,这节课本着一切数学课堂教学活动都从数学的本质出发,重视数学探究,关注学生发展.教学情境的设置既遵循数学知识的内在逻辑关系,又符合学生发展的需要,并辅之以信息技术手段,使得课堂教学科学而自然,“拉近”了教师、教材与学生之间的距离,学生身临其境地经历了数学知识的发生、发展的过程,切实地感悟到数学地认识问题、分析问题、解决问题的思想方法,对发展学生的“四基”、“四能”,理解数学知识的发生发展过程,进而提升数学素养等都具有非常积极的意义[2].

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