(λ,μ)-反模糊子群的同态与同构

尹玉祥, 姚炳学

(聊城大学 数学科学学院, 山东 聊城 252059)

模糊代数作为模糊数学的一个重要分支,吸引了许多学者的研究.1965年,Zadeh首次提出了模糊集的概念.1971年,Rosenfeld首次将模糊集理论应用到群上,开始了模糊代数的研究.随着研究的深入,模糊子群、模糊正规子群、模糊商群的许多性质逐渐得到研究.1990年,Biswas提出了反模糊子群的概念.随后,不少学者对反模糊子群展开了一系列有意义的研究.文献[1]研究了(λ,μ)-反模糊子群,文献[2]研究了(λ,μ)-反模糊正规子群、(λ,μ)-反模糊商群、(λ,μ)-商反模糊子群,文献[3]研究了反模糊子群的运算及性质,文献[4]研究了(λ,μ)-商模糊子群,文献[5]研究了商模糊子群及其同构定理,文献[6-7]研究了模糊子群的同态,文献[8-9]研究了模糊群与模糊子群的同构问题,文献[10]研究了模糊群与反模糊子群,文献[11]研究了基于模糊相等的模糊映射,文献[12-13]研究了模糊商群及环的模糊同态问题,文献[14-15]研究了模糊同态及由模糊子集生成的f-模糊子群.

1 预备知识

如无特别说明,本文中G、G1、G2表示群,e、e1和e2分别表示它们的单位元,λ和μ为常数,且满足0≤λ<μ≤1,并规定infφ=1.

定义1.1[1]设A为G的模糊子集,若对任意的x,y∈G,满足：

1)A(xy)∧μ≤A(x)∨A(y)∨λ;

2)A(x-1)∧μ≤A(x)∨λ,

则称A为G的一个(λ,μ)-反模糊子群.

定理1.1[2]设A为G的模糊子集,则A为G的(λ,μ)-反模糊子群的充要条件是：对任意的x,y∈G,满足A(x-1y)∧μ≤A(x)∨A(y)∨λ.

定义1.2[2]设A为G的(λ,μ)-反模糊子群,如果对任意的x,y∈G,A(xyx-1)∧μ≤A(y)∨λ,则称A为G的(λ,μ)-反模糊正规子群.

定理1.2[2]设A为G的(λ,μ)-反模糊子群,则A为G的(λ,μ)-反模糊正规子群的充要条件是：对任意的x,y∈G,A(xy)∧μ≤A(yx)∨λ.

定义1.3[2]设A为G的反模糊子群,∀a,b∈G,定义G的模糊子集a∘A与A∘b分别为:

(a∘A)(x)=(A(a-1x)∧μ)∨λ, ∀x∈G,

(A∘b)(x)=(A(xb-1)∧μ)∨λ, ∀x∈G.

定理1.3[2]设A与B为B的(λ,μ)-反模糊子群,a,b∈G,则:

1)a∘(b∘A)=(ab)∘A；

2) (A∘a)∘b=A∘(ab)；

3) (a∘A)∘b=a∘(A∘b).

定理1.4[3]设A与B是G的(λ,μ)-反模糊正规子群,则A∪B也是G的(λ,μ)-反模糊正规子群.

定理1.5[4]设A为G的一个(λ,μ)-反模糊子群,则对任意的x,y∈G,

x∘A=y∘A⟺

A(x-1y)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ⟺

A(xy-1)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ.

定义1.4[4]设A为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,则称G/A为G关于A的(λ,μ)-反模糊商群,其中

G/A={g∘A|g∈G},

(g1∘A)(g2∘A)=(g1g2)∘A.

定义1.5设A为G的模糊子集,B为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,定义G/B的模糊子集A/B为

A/B(x∘B)=

inf{A(t)|t∈G,t∘B=x∘B}, ∀x∈G.

定理1.6[4]设A与B分别为G的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,则A/B是G/B的(λ,μ)-反模糊子群,且满足

A/B(e∘B)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ.

特别地,若A为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,则A/B是G/B的(λ,μ)-反模糊正规子群.

定义1.6设A与B分别为G的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,则称A/B为A关于B的(λ,μ)-商反模糊子群.

定义1.7设X与Y为2个非空集合,f为从X到Y的映射,A与B分别为X与Y的模糊子集,定义Y的模糊子集f(A)与X的模糊子集f-1(B)如下：

f(A)(y)=inf{A(t)f(t)=y},y∈Y,

f-1(B)(x)=B(f(x)),x∈X.

2 (λ,μ)-反模糊子群的同态与同构

定义2.1[5]设A与B分别为G1与G2的(λ,μ)-反模糊子群,如果存在G1到G2的同态满射f,满足：

1)f(A)⊇B,则称A与B弱同态,记为A～B；

2)f(A)=B,则称A与B同态,记为A≈B；

3)f(A)=B且f为同构映射,则称A与B同构,记为A≅B.

定理2.1[6]设A与B分别为G的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,则A≈A/B.

证明考虑自然同态f:G→G/B,f(x)=x∘B,∀x∈G,

f(A)(x∘B)=inf{A(t)|f(t)=x∘B}=

inf{A(t)|t∘B=x∘B}=A/B(x∘B),

即f(A)=A/B,故A≈A/B.

引理2.1设A与B为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,且A⊆B,若A(e)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ,则对任意x,y∈G,x∘A=y∘A的充分必要条件是(x∘B)∘(A/B)=(y∘B)∘(A/B).

证明任意x,y∈G,若x∘A=y∘A,则

A(x-1y)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ,

于是

(A/B)((x-1y)B)∧μ∨λ≤A(x-1y)∧μ∨λ=

A(e)∧μ∨λ=(A/B)(e∘B)∧μ∨λ,

即

(A/B)((xB)-1(yB))∧μ∨λ=

(A/B)(e∘B)∧μ∨λ,

于是

(x∘B)∘(A/B)=(y∘B)∘(A/B).

反之,若

(x∘B)∘(A/B)=(y∘B)∘(A/B),

则

(A/B)((x-1y)B)∧μ∨λ=

(A/B)((xB)-1(yB))∧μ∨λ=

(A/B)(e∘B)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ,

即

inf{A(t)|t∘B=(x-1y)B}∧μ∨λ=

A(e)∧μ∨λ.

若t∈G满足t∘B=(x-1y)∘B,则

B(t-1x-1y)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ,

则

A(x-1y)∧μ∨λ≤

A(t)∨A(t-1x-1y)∧μ∨λ≤

A(t)∨B(t-1x-1y)∧μ∨λ=

A(t)∨B(e)∧μ∨λ=

A(t)∨A(e)∧μ∨λ=A(t)∧μ∨λ,

从而

A(x-1y)≤

inf{A(t)t∘B=(x-1y)∘B}∧μ∨λ=

A(e)∧μ∨λ,

所以x∘A=y∘A.

定理2.2[8]设f为G1到G2的同态满射,A与B分别为G1的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,如果B*=kerf,则A/B≈f(A),其中

B*={x∈G|B(x)∧μ∨λ=

B(e)∧μ∨λ}.

证明作h:G1/B→G2,x∘B→f(x),则∀x1,x2∈G1,

B(e1)∧μ∨λ⟺

所以h不仅是映射而且是单射,而由f是满射可知h也是满射.又

h((x1∘B)(x2∘B))=h((x1x2)∘B)=

f(x1x2)=f(x1)f(x2)=h(x1∘B)h(x2∘B),

故h是同构映射.

∀y∈G2,可知

h(A/B)(y)=

inf{(A/B)(x∘B)|h(x∘B)=y}=

inf{(A/B)(x∘B)|f(x)=y}=

inf{inf{A(t)|t∘B=x∘B}|f(x)=y}=

inf{A(t)|B(t-1x)∧μ∨λ=

B(e)∧μ∨λ,f(x)=y}=

inf{A(t)|t-1x∈kerf,f(x)=y}=

inf{A(t)|f(t)=f(x),f(x)=y}=f(A)(y),

即h(A/B)=f(A),因此A/B≈f(A).

定义2.2设f:G1→G2为群的同态映射,A为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,若对任意的x1,x2∈G1,f(x1)=f(x2)⟹A(x1)=A(x2),则称A为f不变的.

易知,若A为f不变的,则f-1(f(A))=A.

引理2.2设f:G1→G2为群的同态满射,B为G1的(λ,μ)-反模糊正规子群,且B为f不变的,则对任意的x1,x2∈G1,

x1∘B=x2∘B⟺f(x1)∘f(B)=f(x2)∘f(B).

证明由于f为同态满射,所以f(B)为G2的(λ,μ)-反模糊正规子群,于是

B(e1)∧μ∨λ⟹

f(B)(f(x1)-1f(x2))∧μ∨λ=

f(B)(e2)∧μ∨λ⟹

f(x1)∘f(B)=f(x2)∘f(B).

反之

f(x1)∘f(B)=f(x2)∘f(B)⟹

f(B)(f(x1)-1f(x2))∧μ∨λ=

f(B)f(e2)∧μ∨λ=B(e1)∧μ∨λ⟹

f(B)(f(x1)-1f(x2))∧μ∨λ=

B(e1)∧μ∨λ⟹x1∘B=x2∘B,

即

x1∘B=x2∘B⟺f(x1)∘f(B)=f(x2)∘f(B).

定理2.3设f:G1→G2为群的同态满射,A与B分别为G1的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,若B为f不变的,则

A/B≅f(A)/f(B).

证明作h:G1/B→G2/f(B),x∘B→f(x)∘f(B),∀x∈G1,则由引理2.2,h为单射,又因为f为满射,故h也是满射,∀x1,x2∈G1,

h(x1∘B)(x2∘B)=h((x1x2)∘B)=

f(x1x2)∘f(B)=

f(x1)f(x2)∘f(B)=

(f(x1)∘f(B))(f(x2)∘f(B))=

h(x1∘B)h(x2∘B),

即h为同构映射.

∀x∈G1,(h-1(f(A)/f(B)))(x∘B)=

(f(A)/f(B))(h(x∘B))=

(f(A)/f(B))(f(x)∘f(B))=

inf{f(A)(y)|y∘f(B)=f(x)∘f(B)}=

inf{inf{A(t)|f(t)=y}|y∘f(B)=

f(x)∘f(B)}=

inf{A(t)|f(t)∘f(B)=f(x)∘f(B)}=

inf{A(t)|t∘B=x∘B}=

(A/B)(x∘B),

即h-1(f(A)∘f(B))=A/B,又因为h为同构映射,所以h(A/B)=f(A)/f(B).

于是A/B≅f(A)/f(B).

推论2.1设f:G1→G2为群的同态满射,A与B分别为G2的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,则f-1(A)/f-1(B)≅A/B.

证明易知f-1(A)与f-1(B)分别为G1的(λ,μ)-反模糊子群与(λ,μ)-反模糊正规子群,且f-1(B)是f不变的,又因为f为满射,所以

f(f-1(A))=A,f(f-1(B))=B.

由定理2.3可得f-1(A)/f-1(B)≅A/B.

定理2.4[3]设A与B为G的(λ,μ)-反模糊子群,则AB也是G的(λ,μ)-反模糊子群当且仅当AB=BA；若A与B为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,则AB也是G的(λ,μ)-反模糊正规子群,其中

AB=inf{A(x1)∨B(x2)|x1x2=x}, ∀x∈G.

定理2.5设A与B为G的(λ,μ)-反模糊正规子群,且A(e)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ,则

A/(A∪B)～AB/B,B/(A∪B)～AB/A.

证明易知A/(A∪B)与AB/B分别为G/(A∪B)与G/B的(λ,μ)-反模糊正规子群.

作h:G/(A∪B)→G/B,x∘(A∪B)→x∘B,∀x∈G,则

∀x1,x2∈G,

x1∘(A∪B)=x2(A∪B)⟹

(A∪B)(e)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ⟹

x1∘B=x2∘B.

于是h为映射,显然h也是满射.而

h((x1∘(A∪B))(x2∘(A∪B)))=

h((x1x2)∘(A∪B))=

(x1x2)∘B=(x1∘B)(x2∘B)=

h(x1(A∪B))h(x2∘(A∪B)),

故h为同态满射.

∀x∈G,(AB/B)(x∘B)=

inf{(AB)(t)|t∘B=x∘B}=

inf{A(t1)∨B(t2)|t1t2=t,t∘B=x∘B}≤

inf{A(t)∨(B(e)∧μ∨λ)|t∘B=x∘B}=

inf{A(t)|t∘B=x∘B}.

而

h(A/(A∪B))(x∘B)=

inf{(A/(A∪B))(x3(A∪B))|

h(x3∘(A∪B))=x∘B}=

inf{(A/(A∪B))(x3∘(A∪B))|x3∘B=

x∘B}=inf{A(t)|x3∘(A∪B)=t∘(A∪B),

x3∘B=x∘B}≥

inf{A(t)|x3∘B=t∘B,x3∘B=x∘B}=

inf{A(t)|t∘B=x∘B}.

上式中的不等号之所以成立,是因为有下面的结论：

对任意的x3∈G,

x3∘(A∪B)=t∘(A∪B)⟹x3∘B=t∘B⟹

(A∪B)(e)∧μ∨λ⟹

x3∘B=t∘B.

所以,上面的不等式成立.

因此

h((A/(A∪B))(x∘B))≥((AB/B))(x∘B),

即h(A/(A∪B))⊇AB/B.故A/(A∪B)～AB/B.

同理可得,B/(A∪B)～AB/A.