对2019年全国卷Ⅲ理科第23题（Ⅰ）的探究*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 贺锌菠

☉内江师范学院数学与信息科学学院 刘成龙

☉内江师范学院数学与信息科学学院 蒋红珠

2019年高考全国卷Ⅲ理科23题是一个具有数学探究价值的多元函数最值问题：从试题背景、解法和推广进行多角度思考可引发如下探究.

一、试题与评注

试题（2019年高考全国卷Ⅲ理科23题，下文简称23题）设x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（Ⅰ）求（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（Ⅱ）若（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥成立，证明：a≤-3或a≥-1.

评注：试题形式优美、构思巧妙、富含美感、不偏不怪、解法多样、可一般化，具有一定的难度、深度和广度，是一个值得研究的好素材.

二、试题背景

1.教材背景

高考试题背景源于教材又高于教材，是对教材的进一步提炼.本题的原型来源于人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书》［1］选修4-5第10页课后习题第11题：

已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥

该习题学生可以运用基本不等式或借助作差法进行解答.23题更改了参数的限制条件，由正实数扩充为实数，在教材习题基础上进行了改编，设置了一些重要不等式背景.命题者立足教材，使得试题背景公平，体现了“源于教材，高于教材”的命题理念，对引导高中数学教学回归教材、研究教材、抑制“题海战术”有益［2］.

为了大量生产壳聚糖酶以满足其商业化需求，培养基配方以及发酵工艺条件的优化非常重要。为优化发酵条件，Zhou 等对碳源、氮源、金属离子、pH值、温度等因素进行了经典的单因素研究。这些多重生长参数间的交互作用使我们很难控制发酵结果。响应面方法学(RSM)是一种非常有用的统计学技术，可用于优化复杂的化学、生物和食品的加工过程，在微生物酶生产的研究中也得到了广泛关注，2012年，Zhang等人报道了利用统计学方法优化壳聚糖酶的生产，结果显示采用Aspergillus sp. QD-2发酵生产壳聚糖酶，经响应面法优化，壳聚糖酶活性从26.5 U/mL提高到了85.8 U/mL 。

2.重要不等式背景

该题含有多个重要不等式背景，分析如下：

（2）|m|2·|n|2≥（m·n）2背景.构造向量，运用|m|2·|n|2≥（m·n）2可以快速推导柯西不等式及变式，并且借助|m|2·|n|2≥（m·n）2可以将23题推广到更一般的情形，比如：推广到n维向量空间、欧式空间.

（3）权方和不等式背景.权方和不等式是柯西不等式的推广形式，对认识、解答和推广23题有指导作用.

（4）排序不等式背景.待求目标（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2中x-1，y+1，z+1的地位平等，刚好为x-1，y+1，z+1排序提供了依据，而（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2视为顺序和.

3.点到平面距离背景

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2可视为空间两点（x，y，z），（1，-1，-1）间距离的平方，而点（x，y，z）位于平面x+y+z=1上，（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为点（1，-1，-1）到平面x+y+z=1距离的平方.

三、试题解法

美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）认为：“数学家存在的主要理由是解问题，数学的真正组成部分是问题和解”.试题的解法包括一题多解、多题一解、错解分析等.其中，从一题多解入手，一题多解是指对一道试题进行多种不同角度地分析与探究，进而得到多种解法，这既能培养学生的学习兴趣，又能培养思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性.下文主要研究（Ⅰ）的解法.

解法1：（距离模型法）x+y+z=1表示平面，故d=为平面内的点A（x，y，z）与点B（1，-1，-1）之间的距离.又点B到平面x+y+z=1的距离，所以dmin=d′=.故，即（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为.

评注：解法1充分利用几何意义，将问题转化为空间中点到平面的距离.

解法2：（判别式法）因为x+y+z=1，消去x得（y+z）2+（y+1）2+（z+1）2=2（y2+z2+yz+y+z+1），设y2+z2+yz+y+z+1=t，化简得y2+（z+1）y+z2+z+1-t=0，此方程有解.故Δ1=（z+1）2-4（z2+z+1-t）≥0，即3z2+2z+3-4t≤0，易得Δ2=4-12（3-4t）≥0，解得t≥，故（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=2t≥.

评注：解法2将问题转化为一元二次方程问题，利用判别式进行求解.

解法3：（利用均值不等式）［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2=（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+2［（x-1）（y+1）+（y+1）（z+1）+（z+1）（x-1）］≤（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+［（x-1）2+（y+1）2+（y+1）2+（z+1）2+（z+1）2+（x-1）2］=3［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］.由已知得（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥，当且仅当x=时“=”成立.（下文不再叙述取等条件）

评注：通过配凑，运用均值不等式巧妙地完成求解，简洁巧妙.

解法4：（利用柯西不等式）由柯西不等式：［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］（12+12+12）≥［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2，因为x+y+z=1，故（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

评注：配凑出柯西不等式的结构是完成求解的关键.

解法5：（构造向量）设m=（x-1，y+1，z+1），n=（1，1，1），则|m|=由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］·3≥（x+y+z+1）2，因为x+y+z=1，所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

评注：解法5的关键在于构造向量，再运用|m|2·|n|2≥（m·n）2进行求解.

四、试题推广

数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立.［3］把一个数学命题的某些特殊条件或结论一般化，从而得到更为普遍的结论（命题），这个过程就称为数学问题（命题）的推广.在推广命题时，可将命题的条件加强、削弱或减少；将条件或结论中的数量、形式或关系普遍化；将命题中的某些结论加强或削弱等.对问题进行推广可以培养学生探究意识、创新意识.下文对23题进行推广.

分析1：问题条件“x+y+z=1”呈现的是高度对称的3元关系，很自然想到4，5，6，…，n元关系下，会有相应的结论吗？

推广1：设xi∈R，i=1，2，…，n，其中n＞1，n∈N+，且

评注：推广1可利用柯西不等式、构造向量等方法加以证明.

分析2：待证目标“（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2”呈现的是2次关系，很自然想到3，4，5，6，…，n次关系下，会有相应的结论吗？

推广2：设x，y，z∈R，k，p∈N+，且xk+yk+zk=1，则xpk+ypk+zpk≥

评注：从指数上进行了推广，可利用权方和不等式证明.

分析3：推广1与推广2分别从“元”和“次数”的角度进行了推广.下面从“元”和“次数”上同时进行推广.

推广3：设xi∈R，i=1，2，…，n，其中n＞1，k，n，p∈N+，且

评注：可利用权方和不等式证明.