高考数学与数学竞赛相关问题研究

☉江苏省吴江中学 苗春兰

高考试题的命题原则是按照考试大纲来完成的，注重对学生数学知识、思想、能力和方法的考查，很多时候学生可以通过“通性通法”来完成解题.随着教育改革的发展，高考数学更加注重对学生能力和数学素养的考查，近些年来高考数学试题中的部分问题出现了“难题竞赛化”的趋势，很多数学题都来源于数学竞赛试题.作为一线高中数学教师，要正视数学竞赛，完全可将它作为基础数学教育的必要补充，在例题上加以延伸和拓展，从而提高学生的解题视野，以及数学课堂的教学效果.

一、高考数学与数学竞赛相关问题概述

随着教育改革的实施，高考数学对于学生的考查不仅在知识与解题技巧上，更加注重学生数学素养和数学能力的考查.通过对近些年的高考数学试题的分析，我们不难发现，很多题型涉及了数学竞赛的相关知识.并且，我国朱华伟研究院提出了“竞赛数学正在逐渐向中学数学渗透，促进中学数学课程改革”的意见，数学竞赛能够给高中数学注入新鲜的血液.由此可见，高考数学与竞赛数学之间有着密切的联系.我们将近些年的部分高考数学压轴题与数学竞赛试题加以对比，就会轻易发现这些题目在本质上是一样的，都是由数学竞赛中蕴含的数学思想演化而来.不同的是，高考数学将这一问题划分成了几个“台阶”，学生能够一步一步来完成.数学竞赛试题以它独特的视角和创新性的特征受到了很多出题者的青睐，他们更愿意选择这类题型来考查学生利用数学知识、技能和思维来解决非常规问题的能力，把高考数学与数学竞赛相结合的命题方式将成为未来高考数学的命题新趋势.

二、高考数学与数学竞赛的联系分析

1.以数学竞赛相关定理为背景的高考数学试题

竞赛数学中涵盖了大部分的高考数学考试大纲中的内容，它的形式更加灵活，内容更加丰富，借助这一特点，能够创造出更加新颖的高考数学试题.在高考数学中，很多试题就是借助数学竞赛中的相关定理为背景来设计的.例如，特征方程就是高考数学试题中出现的以数学竞赛定理为背景的试题.像an+1=p·an+q·an-1的二阶递推式求通项公式的问题，就可以借助特征方程x2=p·x+q来快速求解.其中，如果方程有两个不相同的实数根x1，x2，那么就可以构造出两个等比数列{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，进而求出通项{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，再将an+1、an看成未知数求出an的表达式；如果方程有两个相同的实数根，则先求出an+1-x1·an，然后再用待定系数法求出an的表达式.

例1已知数列{xn}，其中（n≥3），如果limn→∞xn=2，求x1的值是多少？

学生在解决这一问题的时候，如果按照常规思路将原式进行转化得出难度较大，借助特征方程的相关知识，能够顺利的完成求解.

在该类型的考题中，还有些问题涉及“伯努利——欧拉装错信笺”问题，该类题型的意思如下：著名的瑞士数学家提出了一个有趣的问题：某一人写了n（n∈N+）封信，并且都写上了对应的地址，那么此人装错所有信封的几率是多少呢？之后，瑞士的一位数学家欧拉提出了运用数列的方法解决这一问题］，欧拉提出的这一方法，关键在于寻找目标数列的递推公式xn+2=（n-1）（xn+1+xn），难点就在于如何求解这一通项公式.当n≥2时，上式就可以化简为伯努利——欧拉装错信笺的问题常常游走在高考数学和数学竞赛题型之间，如果学生在高考前期接触了这类竞赛型，那么他们就能够运用这一知识点快速地完成解题.

例2有个人给他的6不同的朋友写了6封不同的信，然后又写了6个信封，那么此人在投放信件的时候，有几种方法使得信笺和收件人都不相同？

问题分析：如果早期接触过“伯努利——欧拉装错信笺”问题，就可以直接应用这一结论得出所以，此人有265种方法使得信笺和收件人都不相同.

2.以数学竞赛解题技巧为背景的高考数学试题

以数学竞赛解题技巧为背景的高考数学试题的解题技巧有很多，下面主要介绍构造法的应用.在高考数学试题的解题中，我们需要通过构造条件与结论之间的“桥梁”来实现解题，期中构造桥梁的方法就是“构造法”.构造法是在数学竞赛中较为常用的一种解题技巧，主要包括构造函数、构造方程、构造坐标和构造向量等，需要学生借助自身敏锐的观察能力和扎实的知识基础来完成.

构造函数法就是通过对题目的透彻分析，然后构造出对应的函数，并借助函数的相关性质来完成求解.

例3如果不等式的解集区间为［a，b］，并且b-a=1，那么k的值是多少？

问题分析：通过观察我们不难发现，题目中给出的不等式为无理不等式，利用不等式的相关知识解决起来难度较大，因此我们可以通过构造函数的方式进行求解.令，通过数形结合可以看出，半圆在直线y=k（x+1）下方时，x∈（1，2），此时直线y=k（x+1）经过点

构造方程就是根据已知条件中的数量关系，构造出新的方程和方程组，并借助方程的相关知识完成解题，在构造方程进行解题的过程中，关键在于挖掘题目中能够构造方程的隐含条件.

例4已知x，y均为实数，如果4x2+y2+xy=1，那么2x+y的最大值是多少？

问题分析：面对这一题目，常规的解题思路是借助不等式a2+b2≥2ab的变形去求解，这样的解题过程较为复杂.题目中隐含着2x+y和2xy之间的数量关系，如果我们通过构造方程的形式来进行求解，那么整个解题过程就会变得更加简单.将4x2+y2+xy=1变形可得（2x+y）2-3xy=1，令t=2x+y，则，根据根与系数的关系可以得知2x，y分别是方程的两个根.又因为x，y均为实数，那么2x，y也为实数0，则所以2x+y的最大值是

构造坐标法就是通过建立直角坐标系的方式，将几何问题转化为代数问题去求解，同样，我们也可以根据解题需要，将代数问题转化为几何问题去求解.

例5已知在△ABC中，AB=2，那么该三角形的最大面积是多少？

问题分析：常规的解题思路是利用三角形的面积公式去求解，这样的求解步骤较多，容易出错.这就要求学生打破思维，创造性地运用坐标法去求解.以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，那么A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），因为，所以，整理可得（x-3）2+y2=8（y≠0）.所以当时，三角形的面积最大是

小结

高考数学试题与数学竞赛有着密切的联系，很多数学竞赛部分的知识被灵活地运用到了高考数学中，以此来考查学生的数学能力和思维能力，研究高考数学试题与数学竞赛的联系对于提高数学教学具有重要的意义.