三种思维巧突破，七招方法解椭圆
——2019年全国卷Ⅲ第15题

☉山东省鄄城县第二中学 吴 昊

罗增儒教授在写给解题研究的同行们的共勉中提到：“谁也无法教会我们解所有的数学题，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种能解无限道题的数学素养.”通过一题多解，在呈现不同解法的同时，重在暴露思维过程：为什么会想到这样解，每一个解法的“念头”是什么，不同的解法都用到了哪些知识.多样的思维过程与解法，引人多思，是锻炼学生思维能力、提高综合运用数学知识能力的绝佳载体.2019 年高考全国卷Ⅲ文、理的第15 题是有关椭圆问题，是能够提供很好的锻炼思维、融合知识、提升能力的好场所.

一、真题在线

【高考真题】（2019 年全国卷Ⅲ文，理15）设F1，F2为椭圆的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M 的坐标为______.

本题给出已知椭圆的方程，以椭圆上的点与两个焦点所构造的三角形为等腰三角形为问题背景，利用求解椭圆上的点的坐标来达到目的.由于涉及解析几何问题，又有三角形背景，可以利用条件，通过三角函数、解析几何、平面几何等思维角度加以切入与破解.

二、一题多解

思维角度1.三角函数思维

方法1：（三角函数定义法）由椭圆，可知，则有

由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

方法2：（余弦定理法）由椭圆，可知a=，则有

由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

将xM=3 代入椭圆，可得（由于M 在第一象限内，负值舍去）.

思维角度2.解析几何思维

方法3：（两点间距离转化法）由椭圆可知，则有

由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有=1，即

由于F1（-4，0），所以有，解得x0=3.

将x0=3 代入椭圆，可得（由于y0＞0，负值舍去）.

方法4：（直线垂直关系法）由椭圆，可知，则有

设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有=1，即，MF2的中点N 的坐标为

由于F1（-4，0），F2（4，0），由三角形性质知F1N⊥MF2，则有kF1N·kMF2=-1，即=-1，整理可得y02=48-x02-8x0，则有，解得x0=3（由于x0＞0，负值舍去）.

将x0=3 代入椭圆，可得（由于y0＞0，负值舍去）.

方法5：（椭圆与圆的位置关系法）由椭圆=1，可知，则有

由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

由于F1（-4，0），所以点M 在圆（x+4）2+y2=64 上.

将y2=64-（x+4）2代入椭圆，整理可得x2+18x-63=0，解得x=3（由于x＞0，负值舍去）.

思维角度3.平面几何思维

方法6：（面积转化法）由椭圆，可知a=6，b=，则有

由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有S△MF1F2=·|F1F2|·y0=4y0.

方法7：（相似三角形转化法）由椭圆，可知，则有

由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），过点M 作ME⊥x 轴交x 轴于点E，取线段MF2的中点N，则知Rt△MEF2∽Rt△F1NF2，所以，解得

将y0=代入椭圆，可得x0=3（由于x0＞0，负值舍去）.

三、解后反思

美国著名的数学家哈尔莫斯曾说过：“问题是数学的心脏.”对学生来说，各类考试题无疑是最熟悉的一个“问题”，特别是高考真题.经过理论和教学实践，充分得以证明一题多解是提高数学解题能力的有效途径.通过典型问题呈现不同解法的同时，灵活应用数学知识，充分暴露思维过程，真正提升能力，培养数学素养.