基于简单信息传输的函数教学研究

☉江苏省仪征中学 姜业锋

函数概念是高一新生所接触的第一个极其重要的高中数学概念，虽然他们在初中数学中已经有所了解，但高中数学要求他们对这个概念有一个全新的认识.在信息化高速发展的今天，密码学充斥着我们生活的各个方面，笔者尝试利用简单信息传输的原理来引导学生对函数概念加以理解，收到了较好的教学效果.

一、教学难点及引入背景

函数是高中数学一个非常重要的概念，但是函数概念的高度抽象性也给学生带来了理解上的困扰.照本宣科，脱离实际；但通过简单的依赖关系去解释函数概念又不利于学生抽象思维的发展.基于此，受苏教版高中数学必修一课本函数模块映射章节习题（将字母拼成的明文通过映射转换为密文）启发，结合时下信息的数字化传输这一背景，简单“密码学”正好是函数引入的完美材料.

二、分段剖析，明确概念

下面详细介绍如何通过函数的角度对数字串进行信息传输，并加密.通过对该材料的深入剖析，进一步发掘该材料在函数教学中的实际应用.

（一）数字传输加密系统的建立

1.数字传输系统的建立及解读

在自然数集N 中任取一个数字a，通过对应法则f：对a 除以26 取余.

很容易发现，此时最后答案仍属于自然数集N.但不妨更加细致地考虑这个问题，例如，我们先输入数字27，经过对应法则f 作用后得到数字1.因此不难发现，无论任取数字a 为何，通过对应法则f 作用后答案必属于集合{0，1，2，3，…，25}.基于此，我们建立了一个非常简单的数字传输系统.

2.加密系统的建立及解读

在英文中有26 个英文字母，而我们需要传输的任何信息都可以翻译成英文字母串.这时我们不妨约定，数字0 对应字母a，数字1 对应字母b……以此类推，数字25 对应字母z.因此，按照这种法则，我们建立了一个非常简单的数字加密（数字—字母）系统.

例如，我们需要传输信息：I love math.这时只需要输入数字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}.当然，每个字母并不是只能由唯一的某个数字通过对应f 才能得到.通过对对应法则的分析发现，还可以输入其他的数字串转译（对应）得到相同的信息.但这些数字串有一个共同的特点：每个对应的数字可以加上26 的整数倍.

（二）基于材料，剖析概念

1.聚焦概念，发掘教学难点

为了更好地贴合教材，更加高效地达成函数概念的教学目标，笔者将对以上材料做以下说明：

首先，教材中函数的概念是如下定义的：一般地，设A，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B 中都有唯一的元素y与之对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f（x），x∈A，其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y=f（x）的定义域.若A 是函数y=f（x）的定义域，则对于A 中的每一个x，都有一个输出值y 与之对应.将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域.这种高度抽象化的数学表述如何让学生理解，并发掘这一概念的真正实质是本节函数概念课需要突破的关键点和难点.

2.聚焦材料，对应概念，解读概念

解读一：函数f（x）的值域是数集B 的子集.

不难发现，在以上的材料中对应法则f 满足函数的定义，其中，集合A、B 都是自然数集N.函数f（x）的值域为{0，1，2，3，…，25}，它是集合B 的子集，而在函数的概念教学中，这是一个需要给学生讲解清楚的隐含知识点，借助该材料可以很形象地向学生说明这一点.

解读二：单值对应的实质.

函数概念中“对于集合A 中的每一个元素x，在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应”这一句学生很难把握.但通过材料，学生容易发现最终传输（转译）过去的信息必须唯一确定，而输入该条信息的数字串并非唯一.例如，输入数字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}，通过建立的数字传输加密系统，可以得到唯一的信息—I love math.而输入数字串{（8+26n），（11+26n，14+26n，21+26n，4+26n），（12+26n，0+26n，19+26n，7+26n）}（n∈Z）也可以得到相同的信息.进而真正理解函数定义中这种单值对应的真正内涵.

（三）借助材料，解读函数其他相关内容

1.复合函数

在教学过程（引入材料）中，学生提出，这种所谓的加密方式太过简单，如果生活中采用此类信息传输安全性如何保证，这时引入复合函数的时机恰到好处.解决办法：提出如果在进行转译（对应法则）之前，先对给出的数字x 运用另一种对应法则g1得到一个新的数字x1当然这一步骤可以重复进行以加强其复杂性，然后再通过对应法则f 进行转译，问题立马迎刃而解.

现以传输一个字母d 为例.通过数字传输加密系统可知，数字3 对应字母d.这时可以输入数字9，先通过对应关系得到数字3，再通过对应法则f，得到数字3，即f（g1（x））=3.容易发现，刚开始输入的数字不是任意的，首先，它必须满足函数g1的定义域，其次，通过函数g1作用后，它必须还要在函数f 的定义域内.只有同时满足这两点，函数f（g1（x））才有意义.这其实就是求复合函数的定义域.

复合函数的运用背景在这里有了现实表达，复合函数的运算顺序，求复合函数的定义域的方法也就清晰明了了.

2.已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式

求函数解析式也是本章的一个难点.运用配凑法和换元法求函数解析式，即已知被对应法则作用后的形式（函数），求函数解析式.其本质就是求这种对应法则，即看对应法则将变量到底如何作用？讲明白这一点，解决这个问题的逻辑起点就已经找到.这时不妨回到材料中来，学生肯定会追问，既然有加密过程，那如何解密？如果仅从本章（函数）的角度来说，解密过程其实就是去发现这种“对应法则”.例如，已知f（x+1）=3x+4，求f（x）.要求f（x），即要发现对应法则f 到底将括号里的变量整体x+1 具体如何作用.因为等号后面的解析式没有x+1 的形式，自然需要将3x+4 写成关于x+1 的形式：f（x+1）=3x+4=3（x+1）+1，发现这种对应法则f 是将自变量先3倍再与1 求和.自然而然得到f（x）=3x+1.当然从本材料的加密方式来说，还可以运用概率论的相关知识去推测加密过程，在这里不多加赘述.

三、一点教学反思

作为一种思想的体操与竞赛，数学会使人增强拼搏精神和应变能力，通过不断分析矛盾，从困难局面中理出头绪，最终才能解决问题.该信息的数字化传输加密模型的引入，是基于真实情境的任务驱动，学生能很好地在活动过程中解决问题，形成能力.同时在教学过程中，关注数学的来龙去脉，指导数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，会提高学生建立数学模型、运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力.数学课程的三维目标不是孤立的三个目标，而是一个目标的三个维度.其中，情感态度与价值观这一维度如何在课堂中体现并加以落实，就要求教师在教学设计中不能为情境而情境，只有基于真实情境的任务驱动，学生才能在这一过程中获得更高效的提高.

数学教育表面上只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，这种素质教育不是从外界强加定义的，而是数学教育本身所蕴含的固有的内在属性.以教授学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练，就可以由不自觉到自觉地将上述这些方面的素质和能力，耳濡目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，逐步形成自己的数学素养.笔者认为，作为一线的教育工作者，数学核心素养的形成，战场虽然在课堂，但“补给”源于生活，要善于发现身边的数学素材，情境设计是形成知识迁移能力的关键，而独具创造性的课堂引入是一个很好的抓手.