泄水建筑物反弧急流水深的显式解

宁利中， 张 珂， 宁碧波， 田伟利

(1.西安理工大学 省部共建西北旱区生态水利国家重点实验室，陕西 西安 710048； 2.嘉兴学院建筑工程学院, 浙江 嘉兴 314001 ；3. 上海大学 美术学院, 上海 200444)

1 研究背景

泄水建筑物的水力特性是进行泄水工程设计的依据，关于泄水建筑物的水力特性的实验研究、计算分析与数值模拟研究等，已经有许多成果[1-6]。这为泄水建筑物的设计提供了安全保证。在进行泄水建筑物下游水流消能防冲衔接方式分析时，必须依据泄出水流的水力参数。这些水力参数以水深最小，流速最大的收缩断面的水力要素为代表。收缩断面可看作泄出水流与下游消能防冲衔接的开始断面。因此，收缩断面的水力特性资料是计算水流消能方式的基本要素[1]。在设计泄水建筑物反弧段体形时也要用到收缩断面的水力特性资料，许多研究已经发现泄水建筑物的反弧半径是反弧段水深和流速的函数[7-13]。根据我国的重力坝、拱坝、溢洪道规范规定以及水工设计手册建议，泄水建筑物的反弧半径是随着反弧段水深而变化的[14-17]。另一方面，在进行泄水建筑物反弧段动水压力计算时也必须知道反弧水深。因此，泄水建筑物的反弧段水深是进行反弧半径设计时的必要资料。

关于泄水建筑物的反弧段水深已经有了一些分析和实验研究成果，分别给出了分析方程[8,18]和经验公式[19-21]。由实验给出的经验公式由于实验的条件、实验参数变化范围的限制，都有一定的应用限制条件。文献[18]建议的恒定急变流的能量方程，理论上更加合理但应用该方法时计算较复杂。本文基于恒定急变流的能量方程对泄水建筑物的反弧水流进行分析，在此基础上，对恒定急变流的能量方程建立的反弧段水深方程，通过级数展开近似处理，得到泄水建筑物反弧水深的显式解。经过误差分析，在实际工程的参数变化范围内，本文建议的泄水建筑物反弧水深的显式解具有足够的精度。同时，计算工作量大幅减少。

2 反弧段流动的分析

对于图1所示的溢流坝的过流，水流从坝顶下泄时，势能逐渐转化为动能，水深沿程减小，流速沿程增大。到达坝址的c-c断面，流速达到最大，水深变得最小。这个断面称为收缩断面，该处水深称为收缩水深。收缩水深小于临界水深。水力要素如图1所示，hc代表收缩水深，m；P2代表从下游床面算起的坝高，m；H代表堰上水头，m；v0代表0-0断面流速，m/s；α0代表0-0断面动能修正系数；g代表重力加速度，m/s2；E代表从下游床面算起的0-0断面的水头，m；E0代表从下游床面算起的0-0断面的全水头，m。现在以收缩断面底部为基准面，对坝前0-0断面和c-c收缩断面应用恒定急变流能量方程[18]，有：

(1)

(2)

则公式(1)变为：

(3)

为了讨论方便，定义流速系数为：

(4)

式中:q为单宽流量，m3/(s·m)。公式(4)为计算收缩水深的基本方程。它可以改写为：

(5)

(6)

为了获得精确的收缩水深，对于流速系数φ0进行了大量的研究，它取决于泄水建筑物的形式，尺寸；与反弧半径，坝面粗糙度，单宽流量等影响因素有关。已经有许多研究成果。系数k可按文献[18]对圆柱反弧体形时同心圆理论的分析结果取值。由于在某些情况下反弧水流并不符合同心圆假定[8,19]。因此，也可以按照文献[8]的处理直接给出考虑急变流的流速系数φ的数值。由于公式(4)是关于hc的三次方程，不容易直接求解，一般通过式(5)用试算法或者迭代法求解。为了计算的方便，本文将寻求收缩水深hc的显式近似解。

图1 溢流坝泄水示意图

3 反弧段急流水深的显式近似解

3.1 显式近似解1

将公式(6)变形，得:

(7)

(8)

考虑流能比，将公式(8)取前两项代入公式(7)，得:

(9)

公式(9)变形，得:

(10)

求解公式(10)，得收缩水深的计算式为:

(11)

3.2 显式近似解2

(12)

将公式(12)取前两项代入式(6)，得：

(13)

公式(13)变形，得收缩水深的计算式为:

(14)

4 显式解的误差分析与讨论

对于一般的溢流坝反弧段的流能比K在0.01到0.30之间变化，对于有闸门或者无闸门控制的溢流坝反弧段急变流流速系数φ在0.85到1.0之间变化。下面分析近似解(11)和近似解(14)与精确解(6)的误差。表1给出了不同流能比和不同流速系数情况下近似解(11)与精确解(6)的误差。它们的结果如图2所示。

表1 显式近似解公式(11)与精确解公式(6)的比较

表2给出了不同流能比和不同流速系数情况下近似解(14)与精确解(6)的误差。它们的结果如图3所示。

由表1、2可以看出，(1)随着流能比的减小，由显式近似式计算的反弧急流水深与精确解的误差变小；随着流速系数的增大，由显式近似式计算的反弧急流水深与精确解的误差减小；(2)显式近似解(11)与精确解的最大误差为1.85%，显式近似解(14)与精确解的最大误差为4.24%，最大误差都发生在流速系数φ=0.85、流能比K=0.3的情况下。在小流能比情况下，显式近似解与精确解的误差更小。流能比K≤0.05的情况下，显式近似解(11)与显式近似解(14)的误差均为零。在大流能比情况下，显式近似解(11)的误差小于显式近似解(14)的误差。显式近似解(11)在流能比K≤0.2的情况下，误差小于0.7%。 显式近似解(14)在流能比K≤0.15的情况下，误差小于0.75%；(3)在实际工程的水力参数变化范围内，本文给出的显式近似解公式(11)和显式近似解公式(14)都有足够的精度，并且两公式均为简单显式函数，它们都可以应用到实际工程的水力计算中。从精度方面考虑，优先推荐显式近似解(11)。

表2 显式近似解公式(14)与精确解公式(6)的比较

图2不同流速系数情况下显式近似解公式(11)的误差随着流能比的变化 图3不同流速系数情况下显式近似解公式(14)的误差随着流能比的变化

5 结 论

(1)基于恒定急变流的能量方程对于泄水建筑物的反弧水流进行分析，对恒定急变流的能量方程建立的反弧段水深方程应用级数展开近似处理，得到泄水建筑物反弧急流水深的显式解。

(2)反弧急流水深的精确解和显式解的误差分析表明，当急变流流速系数φ在0.85到1.0之间变化，流能比K在0.01到0.3之间变化时，误差随着流速系数φ的增大而减小；误差随着流能比K的减小而减小。显式近似解(11)与精确解的最大误差为1.85%，显式近似解(14)与精确解的最大误差为4.24%，最大误差都发生在流速系数φ=0.85、流能比K=0.3的情况下。

(3)在上述流速系数和流能比的变化范围内，本文建议的反弧急流水深显式解具有形式简单、计算方便、又具有足够精度的特点。因此，可应用于实际工程的的水力计算与设计。