具有Markov切换Cohen-Grossberg神经网络的依概率渐近稳定性①

吴媛媛, 余珮琳, 孙云霞, 程 培

(安徽大学数学科学学院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

Cohen-Grossberg神经网络[1](简称CGNN)是由Cohen和Grossberg于1983年首次提出的一种神经网络模型。 CGNN模型在模式识别、信号处理、最优化等方面都有广泛的应用,从而吸引很多的学者对其进行研究。在现实应用中,神经网络会出现随机故障,导致链接权值或阀值突然被改变,可能造成系统结构或者参数发生多样性改变,具有可变结构。 对于这种系统,常常利用Markov切换模型来刻画[2,3]。目前研究主要都集中于矩渐近稳定[4,5]和矩指数稳定。关于依概率稳定、依概率渐近稳定等方面的分析研究比较少见。 因此, 针对带有Markov切换的CGNN,我们将研究其依概率渐近稳性问题。 借助文献[2]中构造Lyapunov函数的思想,将基于Markov切换的转移概率的性质,构造一个特殊的Lyapunov函数,然后根据Lyapunov稳定性理论和LMI工具研究系统的稳定性。

1 准备知识

这里采用以下记号：Rn为n维欧氏空间,Rn×m为n×m实矩阵空间,I为适当维的单位矩阵,符号diag表示对角矩阵,λmax(·)表示矩阵的最大特征值,上标T表示向量或矩阵的转置, 符号*表示矩阵中的由对称性得到的元素,符号o(·)表示高阶无穷小。

令{r(t),t≥0}是完备概率空间(Ω,F,P)上的右连续Markov切换,取值于有限状态空间S={1,2,…m}。Γ=(γij)m×m是对应的生成元,满足

P{r(t+δ)=j|r(t)=i}=

(1)

考虑如下带有Markov切换的CGNN:

(2)

其中x(t)=(x1(t),…,xn(t))T为n维神经元状态向量,

矩阵a(x(t),r(t))=diag(a1(x1(t),r(t)),…,an(xn(t),r(t)))为放大函数,b(x(t),r(t))=(b1(x1(t),r(t)),…,bn(xn(t),r(t)))T为神经元形为函数,Α∈Rn×n为连接权矩阵,g(x(t))=(g1(x1(t)),…,gn(xn(t)))T为神经元激励函数。

假设2 存在正常数βil,使得对∀x∈R, ∀i∈S以及l=1,2,…,n,有

xbl(x,i)≥βilx2。

假设3 存在正定对角矩

使得对∀x,y∈R

且x≠y以及l=1,2,…,n,有

为了研究神经网络(2)的稳定性,假设g(0)=0,故神经网络(2)存在平凡解x(t)=0。

定义1 称神经网络(1)的平凡解是依概率稳定的,如果对∀ε>0,有

定义2 称神经网络(1)的平凡解是依概率渐近稳定的,如果它是依概率稳定的,并且有

考虑带有Markov切换的一般的随机微分系统

(3)

其中f:Rn×S→n,假设系统(3)存在平凡解。对于任意二阶连续可微函数V(·,i),i∈S,关于系统(3)定义算子

V(x,i)=fT(x,i)

(4)

引理1[2]： 设D⊂Rn为包含原点的任一区域。 若对∀i∈S,存在满足下列条件的非负函数V(·,i):D→R：

(i)V(·,i)在D中连续,并且V(x,i)=0当且仅当x=0；

(ii)V(·,i)在D-{0}中二阶连续可微,且对于任意充分小的α>0和ε>0,有

LV(x,i)-κ, ∀ε

其中常数κ=κ(ε)>0,则系统(3)的平凡解是依概率渐近稳定的。

2 主要结果

对于任意i∈S,记:

定理1 若存在常数μi∈R和正定对角矩阵Q,P∈Rn×n,使得对于∀i∈S有下面的矩阵不等式成立：

(5)

证明： 定义列向量μ=(μ1,μ2,…μm)Τ∈Rm,令

Γc=μ+βΙm

有解c=(c1,c2,…,cm)∈Rm。 将上面的代数方程展开可得：

(6)

进而由(6)式可得：

(7)

选择常数θ∈(0,1)充分小使得

1-θci>0, ∀i∈S

(8)

和

(9)

同时成立。

对于∀i∈S,定义Lyapunov函数

V(x,i)=(1-θci)|xΤQx|θ

对于神经网络(2),易算得由(4)式定义的微分算子

LV(x,i)=-2θ(1-θci)|xΤQx|θ-1xΤ

Qa(x,i)[b(x,i)-Aig(x)+o(|x|)]+

(10)

由假设1 知对∀i∈S,放大函数a(x,i)满足

a(x,i)a(x,i)

(11)

因此,将矩阵不等式(5)分别左乘和右乘矩阵diag(a(x,i),Ι),可得

(12)

由假设1和假设2知对∀i∈S,有

-2xΤQa(x,i)b(x,i)

(13)

由假设3知对∀i∈S,有

gΤ(x)Pg(x)xΤUPUx

(14)

将(7),(12)-(14)式代入(10)式可得,对于∀i∈S

LV(x,i)

2xΤQa(x,i)Aig(x)+o(x2)]+

θ(1-θci)|xΤQx|θ-1[ξΤΦiξ+μixΤQx+

(15)

其中ξ=(x,g(x))T,O(x)→0(x→0)。 因此,对于∀i∈S,由(8)式知对于任意充小的α>0和ε>0,当ε

LV(x,i)-κ(ε)<0。

由引理1可知神经网络(2)的平凡解是随机渐近稳定的。证毕。

定理2 若存在正定对角矩阵Q∈Rn×n,使得对于∀i∈S有下面的不等式成立：

(16)

则神经网络(2)随机渐近稳定。

证明：

由(16)式知β>0。

注意到,由假设1和假设3知,对于正定对角矩阵Q∈Rn×n,有下式成立：

2xΤQa(x,i)Aig(x)

与定理1的证明类似可证,若不等式(16)成立,则神经网络(2)随机渐近稳定。 证毕。

3 结 论

探讨了一类神经网络的依概率渐近稳定性。基于Lyapunov稳定性理论,利用Markov切换转移概率的性质和线性矩阵不等式(LMI)工具。